Question

（2013•南充）如图，二次函数y=x²+bx-3b+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b-2，2b²-5b-1）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；
（3）连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F．若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）将点（b-2，2b²-5b-1）代入抛物线解析式，求出未知数，从而得到抛物线的解析式；
（2）利用垂径定理及勾股定理，求出点M的坐标；
（3）首先，证明△AME≌△DMF，从而将“△DMF为等腰三角形”的问题，转化为“△AME为等腰三角形”的问题；其次，△AME为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论，逐一分析计算．

解答：解：（1）把点（b-2，2b²-5b-1）代入抛物线解析式，得：
2b²-5b-1=（b-2）²+b（b-2）-3b+3
解得b=2，
故抛物线解析式为y=x²+2x-3．

（2）由x²+2x-3=0，得x=-3或x=1，
∴A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）．
抛物线的对称轴为直线x=-1，圆心M在直线x=-1上，
∴设M（-1，n），作MG⊥x轴于点G，MH⊥y轴于点H，连接MC，MB．
∴MH=1，BG=2．
∵MB=MC，∴BG²+MG²=MH²+CH²，
∴4+n²=1+（3+n）²
解得n=-1，
∴点M（-1，-1）．


（3）如图，由M（-1，-1），得MG=MH．
∵MA=MD，
∴Rt△AMG≌Rt△DMH，∴∠1=∠2．
由旋转可知∠3=∠4，
∴△AME≌△DMF．
若△DMF为等腰三角形，则△AME必为等腰三角形．
设E（x，0），△AME为等腰三角形，分三种情况：
①AE=AM=

5

，则x=

5

-3，∴E（

5

-3，0）；
②∵点M在AB的垂直平分线上，
∴MA=ME=MB，∴E（1，0）；
③点E在AM的垂直平分线上，则AE=ME．
AE=x+3，ME²=MG²+EG²=1+（-1-x）²
∴（x+3）²=1+（-1-x）²
解得：x=-

7

4

，∴E（-

7

4

，0）．
∴所求点E的坐标为（

5

-3，0），（1，0），（-

7

4

，0）．

点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、垂径定理、勾股定理、等腰三角形、全等三角形、旋转等知识点，是代数与几何的综合题．第（3）问中，注意转化思想以及分类讨论思想的运用．