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13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,以BD为直径的⊙O和AB相切于点P.
(1)求证:BP平分∠ABC;
(2)若PC=1,AP=3,求BC的长.

分析 (1)连接OP,首先证明OP∥BC,推出∠OPB=∠PBC,由OP=OB,推出∠OPB=∠OBP,由此推出∠PBC=∠OBP;
(2)作PH⊥AB于H.首先证明PC=PH=1,在Rt△APH中,求出AH,由△APH∽△ABC,推出$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$,求出AB、BH,由Rt△PBC≌Rt△PBH,推出BC=BH即可解决问题;

解答 (1)证明:连接OP,
∵AC是⊙O的切线,
∴OP⊥AC,BC⊥AC,
∴OP∥BC,
∴∠OPB=∠PBC,
∵OP=OB,
∴∠OPB=∠OBP,
∴∠PBC=∠OBP,
∴BP平分∠ABC.

(2)作PH⊥AB于H.
∵PB平分∠ABC,PC⊥BC,PH⊥AB,
∴PC=PH=1,
在Rt△APH中,AH=$\sqrt{A{P}^{2}-P{H}^{2}}$=2$\sqrt{2}$,
∵∠A=∠A,∠AHP=∠C=90°,
∴△APH∽△ABC,
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$,
∴$\frac{3}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$,
∴AB=3$\sqrt{2}$,
∴BH=AB-AH=$\sqrt{2}$,
在Rt△PBC和Rt△PBH中,
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PB}\\{PC=PH}\end{array}\right.$,
∴Rt△PBC≌Rt△PBH,
∴BC=BH=$\sqrt{2}$.

点评 本题考查切线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考常考题型.

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