Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，如果点到直线的距离与它到轴、轴的距离都相等，那么称点为直线的“稳定点”．

（1）到轴、轴的距离相等的点一定在直线__________________上；

（2）在下图中作出直线，并求出该直线所有“稳定点”的坐标；

（备用图）

（3）当时，直线的“稳定点”的坐标为__________________；

（4）当时，直线的所有“稳定点”的横坐标之间存在何种数量关系，请画图直接说明，无需证明．

Answer 1

【答案】（1）或；（2），，，；（3）或；（4）见解析

【解析】

（1）由题意可得，点P的横、纵坐标相等或互为相反数，从而求出结论；

（2）点P即为直线y=x与∠BAO的角平分线的交点或直线y=x与

的邻补角的角平分线的交点或直线y=-x与∠BAO的角平分线的交点或直线y=-x与的邻补角的角平分线的交点，求出直线AC的解析式和第二条角平分线所在直线的解析式即可得出结论；

（3）求出直线与直线y=x 的交点或直线与直线y=-x 的交点即可得出结论；

（4）记四个“稳定点”的横坐标分别为、、、，设P1、P3在直线y=x上P2、P4在y=-x上，＞0，＞0，＞0，＜0，如图所示，根据相似三角形的判定及性质即可得出结论．

解：（1）由题意可得，点P的横、纵坐标相等或互为相反数

∴到轴、轴的距离相等的点一定在直线或直线

故答案为：或；

（2）如图，由题意可得：点P即为直线y=x与∠BAO的角平分线的交点或直线y=x与的邻补角的角平分线的交点或直线y=-x与∠BAO的角平分线的交点或直线y=-x与的邻补角的角平分线的交点

直线与x轴的交点坐标为（-3,0），与y轴的交点坐标为（0,4）

∴OA=3，OB=4

根据勾股定理可得AB=

作出的角平分线，交轴于点．

利用角平分线的性质可得△ABC的边AB上的高的长即为OC的长

∵S△ABO=S△ABC＋S△OAC

∴OA·OB=AB·OC＋OA·OC

即×3×4=×5·OC＋×3·OC

解得：OC=

∴点C的坐标为（0，）

设直线的解析式为

将点A和点C的坐标代入，可得

直线的解析式为；

再作出的邻补角的角平分线，

同样可求第二条角平分线所在直线的解析式为．

故联立组成方程组、、、得“稳定点”的，，，；

（3）由题意可得：当时，直线的“稳定点”应为直线与直线y=x 的交点或直线与直线y=-x 的交点

故联立组成方程组、

∴点的坐标为或

故答案为：或；

（4）如图，记四个“稳定点”的横坐标分别为、、、，设P1、P3在直线y=x上P2、P4在y=-x上，＞0，＞0，＞0，＜0，如图所示

∴P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）

直线与x轴的交点C的坐标为（，0）

过点P3作P3A⊥x轴于A，过点P2作P2B⊥x轴于B，P3P4与P1P2交于点C

由（2）可知：两个角平分线互相垂直，即P3P4⊥P1P2，

易证△P3AC∽△CBP2

∴

∴

整理，得

∵b≠0

∴

同理可得

∴．