Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．
（1）发现与证明：
发现：①当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：

 

．
②当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：

 

．
证明：请你选择上述两个发现中的任意一个加以证明，选择①、②证明的满分分别为4分和6分．（注意：证明前要注明选择了哪一个发现）
（2）引申与运用：
引申：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），△ABE与△ADG的面积关系是：

 

．
运用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是

 

cm²．
证明：我选择

 

进行证明．

Answer 1

分析：（1）①根据三角形的面积公式，两三角形是面积都是两正方形边长积的一半，所以相等；
②过B点作BM⊥AE于M，过D点作DN⊥GA交GA的延长线于N，根据直角可以证明∠MAB=∠DAN，然后证明△AMB与△AND全等，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DN，有正方形AEFG的边长AE=AG，根据三角形的面积公式即可证明面积相等；
（2）引申：同理②的证明，可以得到两三角形面积相等；
运用：图中三个阴影部分的面积都等于△ABC的面积，当AB⊥BC时面积最大，进行计算即可求解．

解答：解：（1）发现：①当E点旋转到DA的延长线上时，BC⊥ED，
∴S_△ABE=

1

2

AE•AB，S_△ADG=

1

2

AG•AD，
∵AE=AG，AB=AD，
∴△ABE与△ADG的面积关系是：相等；（1分）

②当E点旋转到CB的延长线上时，△ABE与△ADG的面积关系是：相等．（1分）
证明：我选择②进行证明，
过B点作BM⊥AE于M，过D点作DN⊥GA交GA的延长线于N，
∴∠AMB=∠AND=90°，
∵∠BAN+∠DAN=∠MAB+∠BAN=90°，
∴∠MAB=∠DAN，
又∵AB=AD，
∴在△AMB与△AND中，

∠AMB=∠AND=90° ∠MAB=∠DAN AB=AD

，
∴△AMB≌△AND（AAS），
∴BM=DN，
∵S_△ABE=

1

2

×AE×BM，S_△ADG=

1

2

×AG×DN，
∴S_△ABE=S_△ADG；
（证明过程共（6分），如选择①证明，给4分）

（2）引申与运用：
引申：△ABE与△ADG的面积关系是：相等．（2分）
运用：根据前面结论有：S_△AEN=S_△BFM=S_△DCG=S_△ABC，
∴图中阴影部分的面积=3S_△ABC，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴当AB⊥BC时，△ABC面积最大，最大值是

1

2

×AB×BC=

1

2

×5×3=7.5，
∴图中阴影部分的面积和的最大值是：7.5×3=22.5cm²．（2分）

点评：本题考查了正方形的边长相等，四个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．