Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．

（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5．

【解析】

（1）连接OC，由切线的性质可得OC⊥MN，即可证得OC∥BD，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠BCO＝∠ABC，即可证得结论；

（2）连接AC，由勾股定理求得BD，然后通过证得△ABC∽△CBD，求得直径AB，从而求得半径．

（1）证明：连接OC，

∵MN为⊙O的切线，

∴OC⊥MN，

∵BD⊥MN，

∴OC∥BD，

∴∠CBD＝∠BCO．

又∵OC＝OB，

∴∠BCO＝∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABC．；

（2）解：连接AC，

在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，

∴BD＝＝8，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠CDB＝90°，

∵∠ABC＝∠CBD，

∴△ABC∽△CBD，

∴，即，

∴AB＝10，

∴⊙O的半径是5，

故答案为5．