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已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-(m-1)x+m=0.(其中m为实数)
(1)若此方程的一个非零实数根为k,
①当k=m时,求m的值;
②若记m(k+
1
k
)-2k+5
为y,求y与m的关系式;
(2)当
1
4
<m<2时,判断此方程的实数根的个数并说明理由.
(1)∵k为(m-2)x2-(m-1)x+m=0的实数根,
∴(m-2)k2-(m-1)k+m=0.+
①当k=m时,
∵k为非零实数根,
∴m≠0,方程两边都除以m,得(m-2)m-(m-1)+1=0.
整理,得m2-3m+2=0.
解得m1=1,m2=2.
∵(m-2)x2-(m-1)x+m=0是关于x的一元二次方程,
∴m≠2.
∴m=1.
②∵k为原方程的非零实数根,
∴将方程两边都除以k,得(m-2)k-(m-1)+
m
k
=0

整理,得m(k+
1
k
)-2k=m-1

y=m(k+
1
k
)-2k+5=m+4


(2)解法一:△=[-(m-1)]2-4m(m-2)=-3m2+6m+1=-3m(m-2)+1.
1
4
<m<2时,m>0,m-2<0.
∴-3m(m-2)>0,-3m(m-2)+1>1>0,△>0.
∴当
1
4
<m<2时,此方程有两个不相等的实数根.
解法二:直接分析
1
4
<m<2时,函数y=(m-2)x2-(m-1)x+m的图象,
∵该函数的图象为抛物线,开口向下,与y轴正半轴相交,
∴该抛物线必与x轴有两个不同交点.
∴当
1
4
<m<2时,此方程有两个不相等的实数根.
解法三:△=[-(m-1)]2-4m(m-2)=-3m2+6m+1=-3(m-1)2+4.
结合△=-3(m-1)2+4关于m的图象可知,(如图)
1
4
<m≤1时,
37
16
<△≤4;
当1<m<2时,1<△<4.
∴当
1
4
<m<2时,△>0.
∴当
1
4
<m<2时,此方程有两个不相等的实数根.
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1
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