Question

16．已知关于x的方程x²-（2k+3）x+k²=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若两不相等的实数根满足x₁x₂-x₁²-x₂²=-9，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=[-（2k+3）]²-4•1•k²=12k+9＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2k+3，x₁x₂=k²，再把x₁x₂-x₁²-x₂²=-9变形为即3x₁x₂-（x₁+x₂）²=-9，则3k²-（2k+3）²=-9，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定满足条件的k的值．

解答 解：（1）由已知可得，△=[-（2k+3）]²-4•1•k²=12k+9＞0
∴k＞-$\frac{3}{4}$
（2）由已知可得x₁+x₂=2k+3，x₁x₂=k²，
∵x₁x₂-x₁²-x₂²=-9，
∴x₁x₂-[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]=-9，
即3x₁x₂-（x₁+x₂）²=-9，
∴3k²-（2k+3）²=-9，
整理得k²+12k=0，解得k₁=0，k₂=-12，
又k＞-$\frac{3}{4}$，
∴k=0．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．