Question

10．如图1，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．点F在AC的延长线上，且∠CAB=2∠CBF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若AB=6，BF=8，求AD的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，求tan∠CBF的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠CAB）=90°-$\frac{1}{2}$∠CAB，由于∠CAB=2∠CBF，则∠ABC+∠CBF=90°，则根据切线的判定定理得BF是⊙O的切线；
（2）先利用勾股定理计算出AF=10，再证明Rt△ABD∽Rt△AFB，然后利用相似比可计算出AD；
（3）作CH⊥BF于H，如图2，利用AC=AB=6可得CF=AF-AC=4，再证明△FCH∽△FAB，利用相似比可计算出CH=$\frac{12}{5}$，FH=$\frac{16}{5}$，则BH=BF-FH=$\frac{24}{5}$，然后在Rt△BHC中，利用正切的定义求解．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠CAB）=90°-$\frac{1}{2}$∠CAB，
∵∠CAB=2∠CBF，
∴∠ABC=90°-∠CBF，即∠ABC+∠CBF=90°，
∴AB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=8，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=10，
∵∠DAB=∠BAF，
∴Rt△ABD∽Rt△AFB，
∴AD：AB=AB：AF，即AD：6=6：10，
∴AD=$\frac{18}{5}$；
（3）解：作CH⊥BF于H，如图2，
∵AC=AB=6，
∴CF=AF-AC=10-6=4，
∵CH∥AB，
∴△FCH∽△FAB，
∴$\frac{CH}{AB}$=$\frac{FH}{FB}$=$\frac{FC}{FA}$，即$\frac{CH}{6}$=$\frac{FH}{8}$=$\frac{4}{10}$，
∴CH=$\frac{12}{5}$，FH=$\frac{16}{5}$，
∴BH=BF-FH=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△BHC中，tan∠CBH=$\frac{CH}{BH}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{24}{5}}$=$\frac{1}{2}$，
即tan∠CBF的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．