Question

3．如图，已知△ABC的面积是1，A₁、B₁、C₁分别是△ABC三边上的中点，△A₁B₁C₁面积记为S₁，A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁三边上的中点，△A₂B₂C₂的面积记为S₂，以此类推，则△A₄B₄C₄的面积S₄=$\frac{1}{256}$．

Answer 1

分析 由于A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比为$\frac{1}{2}$，就可求出S△A₁B₁C₁=$\frac{1}{4}$，同样地方法得出S△A₂B₂C₂=$\frac{1}{16}$…依此类推所以就可以求出S_△A4B4C4的值．

解答 解：∵A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁是△ABC的中位线，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比为$\frac{1}{2}$，
∴S_△A1B1C1：S_△ABC=1：4，且S_△ABC=1，
∴S_△A1B1C1=$\frac{1}{4}$，
∵A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，
∴△A₁B₁C₁的∽△A₂B₂C₂且相似比为$\frac{1}{2}$，
∴S_△A2B2C2=$\frac{1}{16}$，
依此类推
∴S_△A3B3C3=$\frac{1}{64}$，
∴S_△A4B4C4=$\frac{1}{256}$．
故答案为：$\frac{1}{256}$．

点评 本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方得到一般性规律．