Question

7．如图△ABC，∠ACD是它的一个外角，CF平分∠ACD，BE平分∠ABC，角平分线CF、BE交于点P，连接AP，若∠BPC=24°，则∠CAP的度数是66°．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义可得∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PCD=∠BPC+∠PBC，∠ACD=∠BAC+∠ABC，然后整理得到∠BAC=2∠BPC，过点P作PM⊥BA的延长线于M，作PN⊥BD于N，作PK⊥AC于K，根据角平分线上的点到脚的两边距离相等可得PM=PK=PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上确定出AP平分∠CAM，根据互为邻补角的两个角的和等于180°求出∠CAM，再求解即可

解答 解：∵CF平分∠ACD，BE平分∠ABC，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
由三角形外角性质得，∠PCD=∠BPC+∠PBC，∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∴∠BPC+∠PBC=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），
∴∠BAC=2∠BPC=2×24°=48°，
过点P作PM⊥BA的延长线于M，作PN⊥BD于N，作PK⊥AC于K，
∵CF平分∠ACD，BE平分∠ABC，
∴PN=PK，PM=PN，
∴PM=PK，
∴AP平分∠CAM，
∵∠CAM=180°-∠BAC=180°-48°=132°，
∴∠CAP=$\frac{1}{2}$∠CAM=$\frac{1}{2}$×132°=66°．
故答案为：66°．

点评 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线上的点到脚的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．