Question

20．已知，在菱形OABC中，∠OAB=60°，OC=2．若以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第四象限内．将菱形OABC沿直线OA折叠后，点C落在点E处，点B落在点D出．
（1）求点D和E的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过C、D、E点，求抛物线的解析式；
（3）如备用图所示，已知在平面内存在点P到直线AC，CE，EA的距离相等，试求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接OB，作EM⊥OD于M，首先说明点D在x轴上，再求出OM、EM的长即可解决问题．
（2）因为C与D关于y轴对称，所以抛物线的对称轴为y轴，推出b=0，再利用待定系数法即可解决．
（4）如图2中，P₁（0，0）是△ACE的内心，P₁，P₂，P₃是△ACE的外角平分线的交点．则P₁、P₂、P₃、P₄到△ACE三边距离相等．分别求出坐标即可．

解答 解：（1）如图1中，连接OB，作EM⊥OD于M．

∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=AB=OC=BC=2，
∵∠OAB=60°，
∴△OAB，△OBC是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOD=60°，
∵四边形AOED是由四边形OABC沿OA翻折得到，
∴点D在x轴上，OD=DE=EO=2，
在RT△EOM中，∵∠∠EMO=90°，∠MEO=30°，EO=2，
∴MO=1，EM=$\sqrt{3}$，
∴点D坐标（-2，0），点E坐标（-1，$\sqrt{3}$）．

（2）∵C（2，0），D（-2，0），
∴C与D关于y轴对称，
∴抛物线的对称轴为y轴，即$-\frac{b}{2a}=0$
∴b=0，
把C（或D）与E的坐标代入y=ax²+c得$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{a+c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$
解得$a=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，$c=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
（3）如图2中，P₁（0，0）是△ACE的内心，P₁，P₂，P₃是△ACE的外角平分线的交点．则P₁、P₂、P₃、P₄到△ACE三边距离相等．

由（1）可知，△ACE是等边三角形，
∠P₃EC=∠P₃CE=60°，
∴△P₃EC是等边三角形，同理△P₂AE，△P₄AC都是等边三角形且边长都是2$\sqrt{3}$，
∵P₃P₄⊥OC，
∴P₃（2，$2\sqrt{3}$），P₄（2，$-2\sqrt{3}$），
∵OP₂=4，
∴P₁（0，0），P₂（-4，0）．
综上所述满足条件的点P的坐标P₁（0，0），P₂（-4，0），P₃（2，$2\sqrt{3}$），P₄（2，$-2\sqrt{3}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、角平分线的性质、等边三角形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法、记住到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，属于中考压轴题．