Question

如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP=，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90°，
∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半径，
∴PA为⊙O的切线；

（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=，
∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA==，
由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴=．
∴=，
解得AC=8．即AC的长度为8．
分析：（1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP；
（2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度．
点评：本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键．