Question

已知抛物线y=

1

2

mx²-

3

2

mx-2m交x轴于A（x₁，0），B（x₂，0）交y轴负半轴于C点，且x₁＜0＜x₂，（AO+OB）²=12CO+1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．
（3）如图点E（2，-5），将直线CE向上平移a个单位与抛物线交于M，N两点，若AM=AN，求a的值．

Answer 1

（1）抛物线y=

1

2

mx²-

3

2

mx-2m交x轴于A（x₁，0），B（x₂，0），
所以x₁+x₂=3，x₁•x₂=-4m，
∵抛物线y=

1

2

mx²-

3

2

mx-2m交y轴负半轴于C点，
∴点C（0，-2m），-2m＜0，
∴m＞0，
∵x₁＜0＜x₂，
∴AO+OB=-x₁+x₂，OC=|-2m|=2m，
∴（AO+OB）²=（-x₁+x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9+16m，
12OC+1=24m+1，
∴9+16m=24m+1，
解得m=1，
即抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）易知：A点坐标为（-1，0），B点坐标为（4，0），C点坐标为（0，-2），
连接AC，BC，AC=

5

，BC=2

5

，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°．
设C关于抛物线对称轴的对称点为C′，那么C′坐标为（3，-2），
根据抛物线的对称性可知：如果连接AC′、BC′，那么∠AC′B=90°，
因此如果以AB为直径作圆，那么此圆必过C，C′，
根据圆周角定理可知：x轴下方的半圆上任意一点和A、B组成的三角形都是直角三角形，
如果设P点横坐标为x，那么必有当0＜x＜3时，∠APB为锐角，
故当0＜x＜3时，∠APB为锐角；

（3）∵C（0，-2），E（2，-5），
∴直线CE的解析式为y=-

3

2

x-2．
设直线CE向上平移a个单位后的解析式为y=-

3

2

x+b，则-2+a=b，
设直线y=-

3

2

x+b与抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2交于M，N两点，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
∵-

3

2

x+b=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∴

1

2

x²-2-b=0，
∴x₁+x₂=0，
∴点M与点N的横坐标互为相反数，
设点M与的横坐标为t，则M（t，-

3

2

x+b），N（-t，

3

2

t+b），
∵AM=AN，A（-1，0），
∴（t+1）²+（-

3

2

t+b）²=（t-1）²+（

3

2

t+b）²，
整理，得4t-6bt=0，
∵t=0时，M，N两点都与点C重合，不合题意舍去，
∴当t≠0时，b=

2

3

，
此时-2+a=

2

3

，解得a=

8

3

．
故所求a的值为

8

3

．