Question

10．茶农张大爷种有茶树共50亩，其中丘陵地20亩，山地30亩，每亩丘陵地产量y₁（千克）与每亩投资x（百元）之间的函数关系式为：y₁=$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}{（x-8）}^2+36（0≤x≤6）}\\{35（x＞6）}\end{array}}\right.$；每亩山地产量y₂（千克）与每亩投资x（百元）之间的关系如图所示，张大爷现在总投资金240（百元）．
（1）试求张大爷每亩丘陵地投资600元和每亩山地投资600元时茶叶的总产量分别是多少千克？
（2）写出张大爷家茶叶总产量W （千克）与丘陵地每亩投资x（百元）之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）当x取何值时，茶叶的总产量最高？最高产量为多少千克？
（4）在（2）的条件下，如果其中700千克为毛尖茶．其余为龙井茶．现在由乡政府统一组织向外销售，且包装要求及价格如表：

型号	A型包装	B型包装	C型包装
每盒装	龙井1千克	毛尖1千克	毛尖0.4千克；龙井0.6千克
每盒价格	45元	60元	56元

应如何安排包装，利润最大？最大利润为多少？（利润=销售总价格-总投资资金）

Answer 1

分析 （1）直接将张大爷每亩丘陵地投资6（百元）时，代入解析式即可求出每亩产量，进而求出总产量；
（2）根据x的取值范围是w，分别求出解析式相加即可；
（3）根据二次函数的对称轴得出最值，再根据公式求出最值即可；
（4）设安排C型包装m盒，则A型包装（885-0.6）盒，B型包装（700-0.4）盒．设可获利润Z元．由利润=销售总价格-总投资资金就可以表示出Z与m的关系式即可．

解答 解：（1）由图象知y₂=$\left\{\begin{array}{l}{3x+15（0≤x≤6）}\\{33（x＞6）}\end{array}\right.$  
∵20x+30t=240
∴当x=6时，t=4；
当t=6时，x=3，
因此，每亩丘陵地投资600元时，茶叶总产量为：20×[-$\frac{1}{4}$（6-8）²+36]+30（3×4+15）=1510（千克）；
每亩山地投资600元时，茶叶总产量为：20×[-$\frac{1}{4}$（3-8）²+36]+30（3×6+15）=1585（千克）；
（2）由20x+30t-240得t=8-$\frac{2}{3}$x．
①由$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤6}\\{0≤8-\frac{2}{3}x≤6}\end{array}\right.$得3≤x≤6；W=20×[-$\frac{1}{4}$（x-8）²+36]+30[（8-$\frac{2}{3}$x）+15]=-5（x-2）²+1590；
②由$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤6}\\{8-\frac{2}{3}x＞6}\end{array}\right.$得0≤x＜3，W=20×[-$\frac{1}{4}$（x-8）²+36]+30×33=5（x-8）²+1710；
③由$\left\{\begin{array}{l}{x＞6}\\{0≤8-\frac{2}{3}x≤6}\end{array}\right.$得6＜x≤12，W=35×20+30×[3（8-$\frac{2}{3}$x）+15]=-60x+1870；
④由$\left\{\begin{array}{l}{x＞6}\\{8-\frac{2}{3}x＞6}\end{array}\right.$，此不等式组无解．
（3）由（2）中①得，当x=3时，W_最大=1585，由（2）中②得，当x=3时，W_最大=1585
由（2）中③得，当x=6时，W_最大=1510．
故当x=3（百元）时，茶叶总产量最高，最高产量是1585千克．
（4）龙井：1585-700=885千克，
设安排C型包装m盒，则A型包装（885-0.6）盒，B型包装（700-0.4）盒．
设可获利润Z元．依题意知：Z=45（885-0.6m）+60（700-0.4m）+56m-24000=5m+57825．
∵5＞0，
∴Z随m的增大而增大，
又 m≥0，且885-0.6m≥0；且700-0.4m≥0．
∴0≤m≤1475，且m为整数．
∴当m=1475时，Z最大=65200，885-0.6m=0，700-0.4m=110．
即安排A型包装0盒，B型包装110盒，C型包装1475盒，利润最大，为65200元．

点评 本题考查了一元一次不等式组的运用，分类讨论的运用，二次函数的解析式的运用，一次函数的解析式的运用，函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．