分析 (1)利用交点式得到抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-4),然后展开为一般式得到4a=2,再求出a即可得到抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2;
(2)设D(m,$\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{2}$m+2),分类讨论:当点D在x轴下方,即1<m<$\frac{5}{2}$,如图1,由于∠DEB=∠BOC,根据相似三角形的判定方法当$\frac{DE}{OC}$=$\frac{BE}{OB}$时,△EDB∽△OCB;当$\frac{DE}{OB}$=$\frac{BE}{OC}$时,△EDB∽△OBC,再分别利用相似比得到关于m的方程,再解方程求出m即可得到D点坐标;当点D在x轴上方,即m<1,如图2,利用同样的方法求解.
解答 解:(1)抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-4),即y=ax2-5ax+4a,
则4a=2,解得a=$\frac{1}{2}$,
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2;
(2)存在.
当x=0时,y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2=2,则C(0,2),
抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$,
设D(m,$\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{2}$m+2),
当点D在x轴下方,即1<m<$\frac{5}{2}$,如图1,
∵∠DEB=∠BOC,
∴当$\frac{DE}{OC}$=$\frac{BE}{OB}$时,△EDB∽△OCB,即$\frac{-(\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2)}{2}$=$\frac{4-m}{4}$,解得m1=2,m2=4(舍去),此时D点坐标为(2,-1);
当$\frac{DE}{OB}$=$\frac{BE}{OC}$时,△EDB∽△OBC,即$\frac{-(\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2)}{4}$=$\frac{4-m}{2}$,解得m1=5(舍去),m2=4(舍去);
当点D在x轴上方,即m<1,如图2,
∵∠DEB=∠BOC,
∴当$\frac{DE}{OC}$=$\frac{BE}{OB}$时,△EDB∽△OCB,即$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2}{2}$=$\frac{4-m}{4}$,解得m1=0,m2=4(舍去),此时D点坐标为(0,2);
当$\frac{DE}{OB}$=$\frac{BE}{OC}$时,△EDB∽△OBC,即$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{5}{2}m+2}{4}$=$\frac{4-m}{2}$,解得m1=-3,m2=4(舍去),此时D点坐标为(-3,14),
综上所述,满足条件的D点坐标为(-3,14)或(0,2)或(2,-1).
点评 本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定;能利用待定系数法求抛物线解析式;理解坐标与图形的性质;会运用相似比建立线段之间的关系;能利用因式分解法解一元二次方程;学会利用分类讨论的思想解决数学问题.
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