Question

1．“和合文化”是天台山文化的精髓，我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为和合四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的和合边．
（1）写出你所学过的四边形中是和合四边形的两种图形的名称长方形、正方形；
（2）如图（1），已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（7，-7），B（4，4），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为和合边且对角线相等的和合四边形OAMB的顶点M的坐标；
（3）如图（2）将△ABC绕顶点B按顺时针旋转60°，得到△DBE，连结AD、DC，∠DCB=30°，求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD为和合四边形．

Answer 1

分析 （1）只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．
（2）利用勾股定理计算画出即可；
（3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．

解答 解：（1）长方形，正方形；
故答案是：长方形，正方形；

（2）如图1，

∵A（7，-7），B（4，4），
∴AB=$\sqrt{（7-4）^{2}+（-7-4）^{2}}$=$\sqrt{130}$=$\sqrt{{3}^{2}+1{1}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{7}^{2}}$，
∵四边形OAMBs是以OA、OB为和合边且对角线相等，
∴于图象可知，点M坐标为（11，3）或（11，-3）和（9，7）和（9，-7）；

（3）证明：如图2，连结EC．

根据旋转的性质知△ABC≌△DBE，则BC=BE，AC=DE．
又∵∠CBE=60°
∴△CBE是等边三角形，
∴∠BCE=60°，BC=EC
又∵∠DCB=30°
∴∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90°，
∴DC²+EC²=DE²，
∴DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

点评 本题考查勾股定理、旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等、图形的大小、形状都不改变，全等三角形的性质等知识，解题的关键是利用好数形结合的思想解决问题，学会寻找特殊图形（直角三角形）解决问题，属于中考压轴题．