如图.矩形OABC放置在平面直角坐标中.A.C分别在x轴和y轴上.点B在直线y=12x上.OB=85．P.Q两点同时从矩形OABC的顶点C点出发.分别以1cm/s和2cm/s的速度沿C→O→A→B→C运动.当Q点回到C点时.P.Q两点立即停止运动.设点P.Q运动时间为ts．(1)求点B的坐标,(2)是否存在某一时刻.使得QP垂直平分OB?若能.求出此时t的值,若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，矩形OABC放置在平面直角坐标中，A、C分别在x轴和y轴上，点B在直线y=

x上，OB=8

．P、Q两点同时从矩形OABC的顶点C点出发，分别以1cm/s和2cm/s的速度沿C→O→A→B→C运动，当Q点回到C点时，P、Q两点立即停止运动，设点P、Q运动时间为ts．
（1）求点B的坐标；
（2）是否存在某一时刻，使得QP垂直平分OB？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变Q点的出发时间，使得QP垂直平分OB．

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据B在直线y=

x上，设B的坐标为（m，

m），表示出AB与OA，根据OB的长，利用勾股定理求出m的值，即可确定出B坐标；
（2）假设存在，由题意表示出CQ与QB，由PQ垂直平分OB，得到OQ=QB，OD=BD，在Rt△COQ中，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到Q用的时间，进而求出QB的长，利用AAS得到三角形BQD与三角形OPD全等，利用全等三角形对应边相等得到OP=BQ，求出P点用的时间，根据两时间不相等得到不存在某一时刻，使得QP垂直平分OB，根据两点的时间差即可得到改变Q点出发时间．

解答：

解：（1）设点B的坐标为（m，

m），
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：m²+（

m）²=（8

）²，
解得：m=16，
∴B（16，8）；

（2）假设存在，由题意得，CQ=48-2t，QB=2t-32，
∵PQ垂直平分OB，
∴OQ=QB，OD=BD，
在Rt△COQ中，根据勾股定理得：（48-2t）²+64=（2t-32）²，
解得：t_Q=21，
∴QB=2t-32=10，
∵BC∥OA，
∴∠BQD=∠POD，
在△BQD和△OPD中，

∠BQD=∠POD

∠BDQ=∠ODP

BD=OD

，
∴△BQD≌△OPD（AAS），
∴OP=BQ，
∴t_P=18，
∴t_Q≠t_P，
∴不存在，
∴Q点早出发3s即可．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，线段垂直平分线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

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