Question

8．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q．若AQ=12，BP=3，则PG=5．

Answer 1

分析 首先得出△BEP∽△CQE，进而求出BE的长，再得出△BEG∽△EPG，即可得出$\frac{BE}{EP}$=$\frac{BG}{EG}$=$\frac{EG}{PG}$，求出PG的长即可．

解答 解：∵∠QEC=180°-∠DEF-∠BEP=135°-∠BEP，
∠BPE=180°-∠B-∠BEP=135°-∠BEP，
∴∠QEC=∠BPE，
又∵∠EDF=∠C=45°，
∴△BEP∽△CQE，
∴$\frac{BE}{QC}$=$\frac{BP}{EC}$，
设EC=x，则BE=x，AC=$\sqrt{2}$x，
故$\frac{x}{12+\sqrt{2}x}$=$\frac{3}{x}$，
解得：x₁=6$\sqrt{2}$，x₂=-3$\sqrt{2}$（舍去），
∴AB=AC=6$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=12，则AP=9，
过点P作PN⊥BE于点N，
∵BP=3，∠B=45°，
∴BN=PN=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故NE=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
则PE=3$\sqrt{5}$，
∵∠B=∠PEG，∠BGE=∠EGP，
∴△BEG∽△EPG，
∴$\frac{BE}{EP}$=$\frac{BG}{EG}$=$\frac{EG}{PG}$，
设PG=y，
∴$\frac{6\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}$=$\frac{3+y}{EG}$=$\frac{EG}{y}$，
解得：y=5．
故答案为：5．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质和勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，得出PE的长是解题关键．