Question

16．已知，如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，求证：AF=MF+FC．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得到AC=CM，CB=CN，∠ACM=∠BCN=60°，推出∠ACN=∠CBM，根据全等三角形的性质得到∠CAN=∠CMB，推出A，C，F，M四点共圆，根据圆周角定理得到∠MAF=∠MCF，∠MFA=∠ACM=60°，在AF上截取AG=CF，连接MG，根据全等三角形的性质得到MG=MF，推出△MGF是等边三角形，于是得到结论．

解答 证明：∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=CM，CB=CN，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
即∠ACN=∠CBM，
在△ACN与△MCB中$\left\{\begin{array}{l}{AC=CM}\\{∠ACN=∠MCB}\\{CN=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△MCB，
∴∠CAN=∠CMB，
∴A，C，F，M四点共圆，
∴∠MAF=∠MCF，∠MFA=∠ACM=60°，
在AF上截取AG=CF，连接连接MG，
在△AMG与△CMF中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=CM}\\{∠MAG=∠MCF}\\{AG=CF}\end{array}\right.$，
∴△AMG≌△CMF，
∴MG=MF，
∴△MGF是等边三角形，
∴FG=MF，
∵AF=AG+GF，
∴AF=MF+FC．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．