Question

如图所示，Rt△ABC是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C与原点O重合，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，已知OA=3，OB=4。将纸片的直角部分翻折，使点C落在AB边上，记为D点，AE为折痕，E在y轴上。

（1）在图所示的直角坐标系中，求E点的坐标及AE的长；
（2）线段AD上有一动点P（不与A、D重合）自A点沿AD方向以每秒1个单位长度向D点作匀速运动，设运动时间为t秒（0<t<3），过P点作PM∥DE交AE于M点，过点M作MN∥AD交DE于N点，求四边形PMND的面积S与时间t之间的函数关系式，当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）当t（0<t<3）为何值时，A、D、M三点构成等腰三角形？并求出点M的坐标。

Answer 1

解：（1） 据题意，△AOE≌△ADE， ∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3， 在Rt△AOB中，， 设DE=OE=x， 在Rt△BED中 BD2+DE2=BE2，即22+x2=（4-x）2，解得， ∴E（0，）， 在Rt△AOE中，；
（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE=90°， ∴四边形PMND是矩形， ∵AP=t×1=t， ∴PD=3-t， ∵△AMP∽△AED， ∴， ∴PM=， ∴， ∴或， 当时，；
（3）△ADM为等腰三角形有以下二种情况： ①当MD=MA时，点P是AD中点， ∴， ∴（秒）， ∴当时，A、D、M三点构成等腰三角形， 过点M作MF⊥OA于F， ∵△APM≌△AFM， ∴AF=AP=，MF=MP==， ∴OF=OA-AF=3-=， ∴M（，）； ②当AD=AM=3时， △AMP∽△AED， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， ∴当秒时，A、D、M三点构成等腰三角形， 过点M作MF⊥OA于F ∵△AMF≌△AMP， ∴AF=AP=，FM=PM==， ∴OF=OA-AF=3-， ∴M（3-，）。