【题目】如图:是的内接三角形,,,过点作的切线交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)如果的半径为2,求的长.
【答案】(1)证明见解析(2).
【解析】
(1)首先连接OB,则,由易得,又由过点C作的切线交AB的延长线于点D,易求得,继而证的结论
(2)由的半径为2,可求得,易证得,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案
(1)证明:连接OB,则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=OBA=45°,
∵∠AOC=150°,OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC=15°,
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠BOC=∠OBC=60°,
∴∠CBD=180°﹣∠OBA﹣∠OBC=75°,
∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠D=360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD=360°﹣(60°+75°)﹣60°﹣90°=75°,
∴∠CBD=∠D,
∴CB=CD;
(2)在Rt△AOB中,,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠DCB=∠CAD,
∵∠D是公共角,
∴△DBC∽△DCA,
∴
∴CD2=ADBD=BD(BD+AB),
∵CD=BC=OC=2,
∴,
解得:,
∴.
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【题目】将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.
(1)搅匀后从中摸出1个盒子,求摸出的盒子中是型矩形纸片的概率;
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的两个盒子中摸出一个盒子,求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接).
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【题目】襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售.在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克,y关于x的函数解析式为 且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克,每天的利润是W元(利润=销售收入﹣成本).
(1)m= ,n= ;
(2)求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?
(3)在销售蓝莓的30天中,当天利润不低于870元的共有多少天?
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【题目】如图,在8×6的方格纸ABCD中,AB=6,每个小方格纸的顶点为格点,请按要求画出格点多边形,且所画格点多边形的顶点均不与点A,B,C,D重合.
(1)在图1中画一个格点三角形EFG,使得点E,F,G分别在AB,BC,AD上,且∠EFG=90°,
(2)在图2中画一个四边形EFGH,使点F为边BC的中点,E,G,H分别落在边AB,CD,DA上,且EG⊥FH,∠AEG≠90°.
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【题目】问题呈现
如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点、和、,与相交于点,求的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点、,可得,则,连接,那么就变换到中.
问题解决
(1)直接写出图1中的值为_________;
(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,与相交于点,求的值;
思维拓展
(3)如图3,,,点在上,且,延长到,使,连接交的延长线于点,用上述方法构造网格求的度数.
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【题目】随着疫情的有效控制我省百大项目之一的哈尔滨地铁“二号线三号线”全面复工修建,建设方通过合理化地施工设计,加大适当的投入来弥补前期耽误的工作量,以保证今年修建目标的实现。修建过程中有大量的残土需要运输。某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆,全部车辆运输一次可以运输110吨残土.
(1)求该车队有载重量为8吨、10吨的卡车各多少辆?
(2)随着工程的进展,该车队需要一次运输残土不低于165吨,为了完成任务,该车队准备新购进这两种卡车共6辆,则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆?
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【题目】如图,已知双曲线y=和直线y=-x+2,P是双曲线第一象限上一动点,过P作y轴的平行线,交直线y=-x+2于Q点,O为坐标原点.
(1)求直线y=-x+2与坐标轴围成三角形的周长;
(2)设△PQO的面积为S,求S的最小值.
(3)设定点R(2,2),以点P为圆心,PR为半径画⊙P,设⊙P与直线y=-x+2交于M、N两点.
①判断点Q与⊙P的位置关系,并说明理由;
②求S△MON=S△PMN时的P点坐标.
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