Question

【题目】如图：是的内接三角形，，，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）如果的半径为2，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）．

【解析】

（1）首先连接OB，则,由易得，又由过点C作的切线交AB的延长线于点D，易求得,继而证的结论

（2）由的半径为2，可求得,易证得,然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案

（1）证明：连接OB，则∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝OBA＝45°，

∵∠AOC＝150°，OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC＝15°，

∴∠OCB＝∠OCA+∠ACB＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠BOC＝∠OBC＝60°，

∴∠CBD＝180°﹣∠OBA﹣∠OBC＝75°，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠D＝360°﹣∠OBD﹣∠BOC﹣∠OCD＝360°﹣（60°+75°）﹣60°﹣90°＝75°，

∴∠CBD＝∠D，

∴CB＝CD；

（2）在Rt△AOB中，，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠DCB＝∠CAD，

∵∠D是公共角，

∴△DBC∽△DCA，

∴

∴CD2＝ADBD＝BD（BD+AB），

∵CD＝BC＝OC＝2，

∴，

解得：，

∴．