Question

如图所示，在梯形ABCF中，∠ABC=90°，AF∥BC，BA与CF的延长线交于点E，D为AF延长线上一点，且BD⊥CE于G，CF=BC
（1）求证：EF=FD；
（2）若FG=2，CG=6，求四边形ABGF的面积．

Answer 1

（1）证明：过F作FN⊥BC于N，
∵∠ABC=90°，
∴AB∥FN，
∵AD∥BC，
∴四边形AFNB是平行四边形，
AF=BN，AB=FN，
∵FN⊥BC，BD⊥CE，
∴∠FNC=∠BGC=90°，
∵在△BGC和△FNC中，
∴△BGC≌△FN（AAS），
∴BG=FN=AB，CG=CN，
∵BC=CF，
∴BN=FG=AF，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥CF，
∴∠EAF=∠ABC=90°=∠DGF，
∵在△EAF和△DGF中，
∴△EAF≌△DGF（ASA），
∴EF=FD．

（2）解：由（1）知：CG=CN=6，△EAF≌△DGF，
∴AF=FG=2，
在Rt△FNC中，CF=CG+FG=2+6=8，CN=6，由勾股定理得：FN==2，
∵由（1）知：AB=FN=2=BG，连接BF，
∴四边形ABGF的面积是：S_△BAF+S_△BGF=×AF×AB+×BG×FG=×2×2+×2×2=4，
答：四边形ABGF的面积是4．
分析：（1）过F作FN⊥BC于N，得到平行四边形AFNB，推出AF=BN、AB=FN，根据AAS证△BGC≌△FNC，推出BG=FN=AB，CN=CG，BN=FG=AF，根据ASA证△EAF和△DGF全等即可；
（2）根据已知求出CN=CG=6，根据勾股定理求出FN，即可得出AB和BG的值，求出AF=FG=2，根据三角形的面积公式求出即可．
点评：本题考查的知识点有勾股定理、全等三角形的性质和判定、平行四边形的性质和判定、三角形的面积等，根据是求出AF=FG和AB=BG=FN、CN=CG，题目比较好，综合性比较强，有一定的难度．