Question

8．如图，菱形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接AE，∠E=∠B，过点D作DH⊥AE于H．
（1）若AB=13，DH=5，求HE的长；
（2）求证：AH=CE+EH．

Answer 1

分析 （1）由在菱形ABCD中，AB=13，DH=5，DH⊥AE，利用勾股定理可求得AH的长，又由∠E=∠B，易得AE的长，继而求得HE的长；
（2）首先过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，易证得△ADH≌△CDF（AAS），继而可证得Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），则可证得AH=CE+EH．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=13，
∵∠E=∠B，
∴AE=AB=13，
∵DH⊥AE，
∴AH=$\sqrt{A{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴EH=AE-AH=13-12=1；

（2）证明：过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵∠B=∠2，
∴∠1=∠3，
∵DH⊥AE，DF⊥CF，
∴∠4=∠F，
在△ADH和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠1}\\{∠4=∠F}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△CDF（AAS），
∴AH=CF，DH=DF，
∴在Rt△DEH和Rt△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=DF}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），
∴EH=EF，
∵CF=CE+EF，
∴AH=CE+EH．

点评 此题考查了菱形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．