Question

8．如图，已知抛物线y=-ax²+$\frac{8}{5}$x+2经过点A（1，$\frac{16}{5}$），且与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求该你抛物线的解析式及点A，B的坐标；
（2）若代数式-ax²+$\frac{8}{5}$x+2的值为正整数，求x的值有多少个？
（3）连接BC，在BC上方的抛物线上是否存在一点E，使得△BCE的面积最小？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（2）根据函数图象与正整数函数值的交点，可得答案；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得EF的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）将（1，$\frac{16}{5}$）代入函数解析式，得
-a+$\frac{8}{5}$+2=$\frac{16}{5}$，解得a=$\frac{2}{5}$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2，
当y=0时，-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2=0，解得x=-1，x=5，
即A点坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0）；
（2）y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2=-$\frac{2}{5}$（x-2）²+$\frac{18}{5}$，顶点坐标为（2，$\frac{18}{5}$），
-ax²+$\frac{8}{5}$x+2的值为正整数为1，2，3．
y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2与y=1有两个交点，
y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2与y=2有两个交点，
y=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x+2与y=3有两个交点，
代数式-ax²+$\frac{8}{5}$x+2的值为正整数，x的值有6个；
（3）不存在一点E，使得△BCE的面积最小，理由如下：
作EF⊥x轴交BC于F，
如图，
设BC的解析式为y=kx+b，将B，C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{5}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
BC的解析式为y=-$\frac{2}{5}$x+2，
设E（n，-$\frac{2}{5}$n²+$\frac{8}{5}$n+2），F（n，-$\frac{2}{5}$n+2），
EF=-$\frac{2}{5}$n²+$\frac{8}{5}$n+2-（-$\frac{2}{5}$n+2）=-$\frac{2}{5}$n²+2n，
S=$\frac{1}{2}$EF•x_B=$\frac{1}{2}$（-$\frac{2}{5}$n²+2n）×5
=-n²+5n=-（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
当n=$\frac{5}{2}$时，面积有最大值，E点坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$），
不存在一点E，使得△BCE的面积最小．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用自变量与函数值的对应关系是求图象与x轴交点的关键；利用函数图象与正整数函数值的交点是解题关键；利用三角形的面积得出二次函数是解题关键．