【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E是BC边上一点,将矩形沿AE折叠,点B落在点B'处,当△B'EC是直角三角形时,BE的长为( )
A.2B.6C.3或6D.2或3或6
【答案】C
【解析】
分以下两种情况求解:①当点B′落在矩形内部时,连接AC,先利用勾股定理计算出AC=10,根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°,而当△B′EC为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,所以点A、B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处,则EB=EB′,AB=AB′=6,可计算出CB′=4,设BE=x,则EB′=x,CE=8﹣x,然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x.
②当点B′落在AD边上时.此时四边形ABEB′为正方形,求出BE的长即可.
解:当△B′EC为直角三角形时,有两种情况:
①当点B′落在矩形内部时,如图1所示.连结AC,
在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
∴AC==10,
∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,
∴∠AB′E=∠B=90°,
当△B′EC为直角三角形时,得到∠EB′C=90°,
∴点A、B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处,如图,
∴EB=EB′,AB=AB′=6,
∴CB′=10﹣6=4,
设BE=x,则EB′=x,CE=8﹣x,
在Rt△B′EC中,
∵EB′2+CB′2=CE2,
∴x2+42=(8﹣x)2,
解得x=3,
∴BE=3;
②当点B′落在AD边上时,如图2所示.
此时ABEB′为正方形,
∴BE=AB=6.
综上所述,BE的长为3或6.
故选:C.
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【题目】如图,在ABCD中,各内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.
(1)求证:△ABG≌△CDE;
(2)猜一猜:四边形EFGH是什么样的特殊四边形?证明你的猜想;
(3)若AB=6,BC=4,∠DAB=60°,求四边形EFGH的面积.
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【题目】如图,某风景区的沿湖公路AB=3千米,BC=4千米,CD=12千米,AD=13千米,其中AB^BC,图中阴影是草地,其余是水面.那么乘游艇游点C出发,行进速度为每小时11千米,到达对岸AD最少要用 小时.
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【题目】如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE的长.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E是AD边上一点,PQ垂直平分BE,分别交AD、BE、BC于点P、O、Q,连接BP、QE
(1)求证:四边形BPEQ是菱形:
(2)若AB=6,F是AB中点,OF=4,求菱形BPEQ的面积.
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【题目】如图,抛物线y=(x﹣3)2与x轴交于A、B两点(点A在B的左侧),与y轴交于C点,顶点D.
(1)求点A、B、D三点的坐标;
(2)连结CD交x轴于G,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,交抛物线对称轴于E,求出E点的纵坐标;
(3)以②中点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标.
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