Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是

BC

的中点，DP⊥AC，垂足为点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）若AC=6，cosA=

3

5

，求PD的长．

Answer 1

分析：（1）连接OD，AD．由于D是弧BC中点，易知弧CD=弧BD，即可得∠1=∠2，利用圆周角定理可知∠2=

1

2

∠BOD，易证∠PAB=∠BOD，从而可判定PA∥DO，而∠P=90°，易求∠ODP=90°，从而可证DP实切线；
（2）连接CB交OD于点E，由于AB是直径，可知∠ACB=90°，结合（1）中的内容，易证四边形CEDP是矩形，于是DP=CE，∠CED=90°，即OD⊥CB，而OD∥AP，OA=OB，利用平行线分线段成比例定理的推论，可证CE=BE，在Rt△ABC中，
根据AC=6，cosA=

3

5

，可求AB，再利用勾股定理可求BC，从而可求DP．

解答：（1）证明：如图：连接OD，AD．
∵D为弧BC的中点，
∴弧CD=弧BD．
∴∠1=∠2=

1

2

∠PAB，
∵∠2=

1

2

∠BOD，
∴∠PAB=∠BOD，
∴PA∥DO，
∵DP⊥AP，
∴∠P=90°，
∴∠ODP=∠P=90°，
即OD⊥PD，
∵点D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线；

（2）连接CB交OD于点E．
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=∠ECP=90°，
∵∠ODP=∠P=90°，
∴四边形PCED为矩形，
∴PD=CE，∠CED=90°，
∴OD⊥CB，
∴EB=CE，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴cosA=

AC

AB

，
∵AC=6，cosA=

3

5

，
∴AB=10，
∴BC=8，
∴CE=PD=

1

2

BC=4．

点评：本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、勾股定理、平行线的判定和性质、矩形的判定和性质、解直角三角形．解题的关键是证明OD∥AP，四边形PCED为矩形．