Question

如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-

3

4

x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．

（1）若直线AB与

CD

有两个交点F、G．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG²，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，
（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM²，再求出FG²，再根据式子写出b的范围，
（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽△AOB相似得出点P的坐标，再求出OP所在的直线解析式．

解答：解：（1）①如图，

∵∠COE=90°
∴∠CFE=

1

2

∠COE=45°，（圆周角定理）
②方法一：
如图，作OM⊥AB点M，连接OF，

∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=-

3

4

x+b，
∴OM所在的直线函数式为：y=

4

3

x，
∴交点M（

12

25

b，

16

25

b）
∴OM²=（

12

25

b）²+（

16

25

b）²，
∵OF=4，
∴FM²=OF²-OM²=4²-（

12

25

b）²-（

16

25

b）²，
∵FM=

1

2

FG，
∴FG²=4FM²=4×[4²-（

12

25

b）²-（

16

25

b）²]=64-

64

25

b²=64×（1-

1

25

b²），
∵直线AB与

CD

有两个交点F、G．
∴4≤b＜5，
∴FG²=64×（1-

1

25

b²）    （4≤b＜5）
方法二：
①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，

∵直线的函数式为：y=-

3

4

x+b，
∴B的坐标为（0，b），A的坐标为（

4

3

b，0），
∴AB=

OB2+OA2

=

5

3

b，
∴sin∠BAO=

BO

AB

=

b

5 3 b

=

3

5

，
∴sin∠MAO=

OM

AO

=

OM

4 3 b

=

3

5

，
∴OM=

4

5

b，
∴在RT△OMF中，
FM=

OF2-OM2

=

42-( 4 5 b)2

∵FG=2FM，
∴FG²=4FM²=4（4²-

16

25

b²）=64--

64

25

b²=64×（1-

1

25

b²），
∵直线AB与

CD

有两个交点F、G．
∴4≤b＜5，
∴FG²=64×（1-

1

25

b²）    （4≤b＜5）
（2）如图，

当b=5时，直线与圆相切，
∵在直角坐标系中，∠COE=90°，
∴∠CPE=∠ODC=45°，
∴存在点P，使∠CPE=45°，
连接OP，
∵P是切点，
∴OP⊥AB，
∴△APO∽△AOB，
∴

OP

OB

=

AP

AO

，
∵OP=r=4，OB=5，AO=

20

3

，
∴

4

5

=

AP

20 3

即AP=

16

3

，
∵AB=

OB2+OA2

=

52+( 20 3 )2

=

25

3

，
作PM⊥AO交AO于点M，设P的坐标为（x，y），
∵△AMP∽△AOB，
∴

PM

BO

=

AP

AB

∴

y

5

=

16 3

25 3

，
∴y=

16

5

，
∴x=OM=

OP2-PM2

=

42-( 16 5 )2

=

12

5

∴点P的坐标为（

12

5

，

16

5

）．
当b＞5时，直线与圆相离，不存在P

点评：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，利用三角形相似求出点P的坐标．