Question

求满足下列条件的正整数n的所有可能值：对这样的n，能找到实数a、b，使得函数f（x）=

1

n

x²+ax+b对任意整数x，f（x）都是整数．

Answer 1

分析：由题意函数f（x）=

1

n

x²+ax+b对任意整数x，f（x）都是整数，则可令g（x）=f（x+1）-f（x），化简后得

2

n

x+

1

n

+a，为整数；同理，g（x+1）-g（x）=

2

n

也是整数，所以，n=1或2时，f（x）都是整数．

解答：解：设函数f（x）=

1

n

x²+ax+b对任意整数x，f（x）都是整数，
则g（x）=f（x+1）-f（x），
=[

1

n

（x+1）²+a（x+1）+b]-[

1

n

x²+ax+b]，
=

2

n

x+

1

n

+a，也为整数，
则，g（x+1）-g（x）=

2

n

也是整数，
所以，n=1或2，
当n=1时，取整数a、b，则f（x）=x²+ax+b对任意整数x，f（x）都是整数，
当n=2时，取a=

1

2

，b为整数，则f（x）=

1

2

x²+

1

2

x+b=

1

2

x（x+1）+b，对于任意整数x，f（x）都是整数．
综上所述，n=1或2．

点评：本题主要考查了含字母系数的二次函数，讨论g（x）=f（x+1）-f（x）及g（x+1）-g（x）都是整数，是解答本题的关键．