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    19．对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．如图①中，∠B=∠D，AB=AD；如图②中，∠A=∠C，AB=AD则这样的四边形均为奇特四边形．
    （1）在图①中，若AB=AD=4，∠A=60°，∠C=120°，请求出四边形ABCD的面积；
    （2）在图②中，若AB=AD=4，∠A=∠C=45°，请直接写出四边形ABCD面积的最大值；
    （3）如图③，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，F是AD延长线上一点，且BE=DF，连接EF，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H．若EB+BC=m，问四边形BCGE的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值（用含m的代数式表示）；如果不是，请说明理由．

    分析 （1）如图①中，设AC与BD交于点O．首先证明△ABD是等边三角形，AC⊥BD，根据S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$•BD•OA+$\frac{1}{2}$•BD≈OC=$\frac{1}{2}$•BD•（OA+OC），求出AO，OC即可解决问题．
    （2）如图②中，作DH⊥AB于H．因为∠C′=∠C=45°，所以当C′B=C′D时，△BDC′的面积最大，此时四边形ABC′D的面积最大，易证四边形ABC′D是菱形，在Rt△AHD中，由∠A=45°，∠AHD=90°，AD=4，推出AH=HD=2$\sqrt{2}$，所以四边形ABC′D的面积=AB•DH=8$\sqrt{2}$．
    （3）四边形BCGE的面积是定值如图③中，连接EC、CF，作FH⊥BC于H．由△BCE△DCF，推出CE=CF，由EG=GF，推出S△ECG=S△FCG，由四边形DCFH是矩形，推出BC=DC=HF，DF=BE=CH，推出BH=m，BE+FH=m，推出△FCH，△DCF，△BCE的面积相等，推出四边形BCGE的面积=$\frac{1}{2}$•梯形BEFH的面积，由此即可解决问题．

    解答 解：（1）如图①中，设AC与BD交于点O．

    ∵AB=AD，∠A=60°，
    ∴△ABD是等边三角形，
    ∴AB=AD=BD=4，∠ABD=∠ADB=60°，
    ∵∠ABC=∠ADC，
    ∴∠CBD=∠CDB，
    ∵∠BCD=120°，
    ∴∠CBD=∠CDB=30°，
    ∴CB=CD，∵AB=AD，
    ∴AC⊥BD，
    ∴BO=OD=2，OA=AB•sin60°=2$\sqrt{3}$，OC=OB•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    ∴S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$•BD•OA+$\frac{1}{2}$•BD≈OC=$\frac{1}{2}$•BD•（OA+OC）=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

    （2）如图②中，作DH⊥AB于H．

    ∵∠C′=∠C=45°，
    ∴当C′B=C′D时，△BDC′的面积最大，此时四边形ABC′D的面积最大，
    易证四边形ABC′D是菱形，
    在Rt△AHD中，∵∠A=45°，∠AHD=90°，AD=4，
    ∴AH=HD=2$\sqrt{2}$，
    ∴四边形ABC′D的面积=AB•DH=8$\sqrt{2}$．
    ∴四边形ABCD的面积的最大值为8$\sqrt{2}$．

    （3）四边形BCGE的面积是定值．理由如下，
    如图③中，连接EC、CF，作FH⊥BC于H．

    在△BCE和△DCF中，
    $\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠EBC=∠FDC}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
    ∴△BCE≌△DCF，
    ∴CE=CF，
    ∵EG=GF，
    ∴S△ECG=S△FCG，
    ∵四边形DCFH是矩形，
    ∴BC=DC=HF，DF=BE=CH，
    ∴BH=m，BE+FH=m，
    ∴△FCH，△DCF，△BCE的面积相等，
    ∴四边形BCGE的面积=$\frac{1}{2}$•梯形BEFH的面积=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•m•m=$\frac{1}{4}$m2．

    点评 本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、菱形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，第三个问题的关键是证明四边形BCGE的面积=$\frac{1}{2}$•梯形BEFH的面积，所以中考压轴题．

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