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(2013•重庆)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个交点为A,且与y轴交于点C(0,5).
(1)求直线BC与抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点,过点M作MN∥y轴交直线BC于点N,求MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,MN取得最大值时,若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点,以BC为边作平行四边形CBPQ,设平行四边形CBPQ的面积为S1,△ABN的面积为S2,且S1=6S2,求点P的坐标.
分析:(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线BC的解析式;同理,将B(5,0),C(0,5)两点∑的坐标代入y=x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出MN的最大值;
(3)先求出△ABN的面积S2=5,则S1=6S2=30.再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,根据平行四边形的面积公式得出BD=3
2
,过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.证明△EBD为等腰直角三角形,则BE=
2
BD=6,求出E的坐标为(-1,0),运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=-x-1,然后解方程组
y=-x-1
y=x2-6x+5
,即可求出点P的坐标.
解答:解:(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,
将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,
5m+n=0
n=5
,解得
m=-1
n=5

所以直线BC的解析式为y=-x+5;
将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x2+bx+c,
25+5b+c=0
c=5
,解得
b=-6
c=5

所以抛物线的解析式为y=x2-6x+5;

(2)设M(x,x2-6x+5)(1<x<5),则N(x,-x+5),
∵MN=(-x+5)-(x2-6x+5)=-x2+5x=-(x-
5
2
2+
25
4

∴当x=
5
2
时,MN有最大值
25
4


(3)∵MN取得最大值时,x=2.5,
∴-x+5=-2.5+5=2.5,即N(2.5,2.5).
解方程x2-6x+5=0,得x=1或5,
∴A(1,0),B(5,0),
∴AB=5-1=4,
∴△ABN的面积S2=
1
2
×4×2.5=5,
∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30.
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,则BC⊥BD.
∵BC=5
2

∴BC•BD=30,
∴BD=3
2

过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.
∵BC⊥BD,∠OBC=45°,
∴∠EBD=45°,
∴△EBD为等腰直角三角形,BE=
2
BD=6,
∵B(5,0),
∴E(-1,0),
设直线PQ的解析式为y=-x+t,
将E(-1,0)代入,得1+t=0,解得t=-1
∴直线PQ的解析式为y=-x-1.
解方程组
y=-x-1
y=x2-6x+5
,得
x1=2
y1=-3
x2=3
y2=-4

∴点P的坐标为P1(2,-3)(与点D重合)或P2(3,-4).
点评:本题是二次函数的综合题,其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,二次函数的性质,三角形的面积,平行四边形的判定和性质等知识点,综合性较强,考查学生运用方程组、数形结合的思想方法.(2)中弄清线段MN长度的函数意义是关键,(3)中确定P与Q的位置是关键.
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