Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)若CF＝2，CE＝4，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为5．

【解析】

（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得：OE∥BC，所以∠OEA＝90°，则AC是⊙O的切线；
（2）过点O作OH⊥BF交BF于H，先求OH和BH的长，再根据勾股定理求OB的长．

（1）证明：连接OE．

∵OE＝OB，

∴∠OBE＝∠OEB，

∵BE平分∠ABC，

∴∠OBE＝∠EBC，

∴∠EBC＝∠OEB，

∴OE∥BC，

∴∠OEA＝∠C，

∵∠ACB＝90°，

∴∠OEA＝90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为r．

过点O作OH⊥BF交BF于H，

由题意可知四边形OECH为矩形，

∴OH＝CE＝4，CH＝OE＝r，

∴BH＝FH＝CH－CF＝r－2，

在Rt△BHO中，∵OH2+BH2＝OB2，

∴42+（r－2）2＝r2，

解得r＝5．

∴⊙O的半径为5．