Question

8．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于点M，交y轴于点A，过A，M两点的⊙O₁的圆心O₁在x轴上，交x轴于另一点N，交y轴于另一点B，D，C为优弧$\widehat{AB}$上两动点，且AC⊥BD交BD于G，延长OG交CD于H．
（1）求圆心O₁的坐标；
（2）求证：OH⊥CD；
（3）当D、C两点在⊙O₁上运动时，线段CD的长是否为定值？如果是，求其值；如果不是，请说明理由；
（4）连接AD、BC，问：AD²+BC²的值是否为定值？如果是，求其值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AO₁，设⊙O₁的半径为r．在Rt△AOO₁中，根据O₁A²=OO₁²+OA²，可得方程r²=4²+（r-2）²，由此即可解决问题．
（2）由BD⊥AC，推出∠AGB=90°，由OO₁⊥AB，推出OA=OB，推出OG=OA=OB，推出∠OBG=∠OGB=∠DGH，∠OAG=∠OGA=∠D，由∠OBG+∠OAG=90°，推出∠DGH+∠D=90°，即∠DHG=90°．
（3）结论：线段CD的长是定值，CD=6．只要证明△KDC∽△AO₁O，得到$\frac{CD}{O{O}_{1}}$=$\frac{DK}{A{O}_{1}}$，求出CD即可．
（4）结论：AD²+BC²的值是定值．由∠AGD=∠BGC=90°，可知AD²+BC²=AG²+DG²+BG²+CG²=（AG²+BG²）+（DG²+CG²）=AB²+CD²，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接AO₁，设⊙O₁的半径为r．

∵直线y=2x+4交x轴于点M，交y轴于点A，
∴M（-2，0），A（0，4），
∴OM=2，OA=4，
在Rt△AOO₁中，∵O₁A²=OO₁²+OA²，
∴r²=4²+（r-2）²，
∴r=5，
∴OO₁=3，
∴点O₁坐标为（3，0）．

（2）如图2中，

∵BD⊥AC，
∴∠AGB=90°，
∵OO₁⊥AB，
∴OA=OB，
∴OG=OA=OB，
∴∠OBG=∠OGB=∠DGH，∠OAG=∠OGA=∠D，
∵∠OBG+∠OAG=90°，
∴∠DGH+∠D=90°，
∴∠DHG=90°，
∴OH⊥CD．

（3）结论：线段CD的长是定值，CD=6
理由：如图3中，连接O₁A，BC、DO₁．延长DO₁交⊙O₁于K，连接CK．

∵∠BGC=90°，
∴∠GBC+∠ACB=90°，
∵∠AO₁O=∠ACB，∠OAO₁+∠AO₁O=90°，
∴∠K=∠CBD=∠OAO₁，∵∠DCK=∠AOO₁=90°，
∴△KDC∽△AO₁O，
∴$\frac{CD}{O{O}_{1}}$=$\frac{DK}{A{O}_{1}}$，
∴$\frac{CD}{3}$=$\frac{10}{5}$，
∴CD=6．

（4）结论：AD²+BC²的值是定值．AD²+BC²=100．
理由：如图4中，连接AD、BC．

∵∠AGD=∠BGC=90°，
∴AD²+BC²=AG²+DG²+BG²+CG²=（AG²+BG²）+（DG²+CG²）=AB²+CD²=8²+6²=100．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用相似三角形的性质解决求线段问题，属于中考压轴题．