Question

二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，与x轴的一个交点A在（2，0）和（3，0）之间，其部分图象如图，则下列结论正确的是（　　）

• A、b＜0
• B、ac＞0
• C、3a+c＞0
• D、3a+c＜0

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1得到b=-2a＞0，则可对A选项进行判断；由抛物线与y轴的交点位置得c＞0，则可对B选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（-1，0）之间，则x=-1时，y＜0，所以a-b+c＜0，加上b=-2a，则可对C、D进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a＞0，所以A选项错误；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，所以B选项错误；
∵抛物线与x轴的一个交点A在（2，0）和（3，0）之间，而对称轴为x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（0，0）和（-1，0）之间，
∴x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，
而b=-2a，
∴a+2a+c＜0，所以C选项错误，D选项正确．
故选D．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．