Question

17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的一个交点为A（-1，n）
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，直接写出点P的坐标；
（3）若P是x轴上一点，且满足△AP0为等腰三角形，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；
（2）PA=OA，则P在以A为圆心，以OA为半径的圆上或P在以O点为圆心，以OA为半径的圆上，圆与坐标轴的交点就是P．
（3）分PA=OA时，PO=OA时，PA=OP时三种情况进行讨论，求得P的坐标．

解答 解：（1）∵点A（-1，n）在一次函数y=-2x的图象上．
∴n=-2×（-1）=2
∴点A的坐标为（-1，2）
∵点A在反比例函数的图象上．
∴k=-2
∴反比例函数的解析式是y=-$\frac{2}{x}$．

（2）∵A（-1，2），
∴OA=$\sqrt{（-1）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵点P在坐标轴上，
∴当点P在x轴上时设P（x，0），
∵PA=OA，
∴$\sqrt{（x+1）^{2}+（0+2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，解得x=-2；
当点P在y轴上时，设P（0，y），
∴$\sqrt{（0+1）^{2}+（y-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，解得y=4；
当点P在坐标原点，则P（0，0）．
∴点P的坐标为（-2，0）或（0，4）或（0，0）．
（3）当PA=OA时，由（2）可知P点的坐标为（-2，0）；
当PO=OA时，∵OA=$\sqrt{5}$，
∴P点的坐标为（-$\sqrt{5}$，0），（$\sqrt{5}$，0），
当PA=OP时，作OA的垂直平分线交x轴于P，此时P的坐标为（-2.5，0），
点P的坐标为（-2，0），（-$\sqrt{5}$，0），（$\sqrt{5}$，0），（-2.5，0）．

点评 本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法；要注意（3）在不确定等腰三角形的腰和底的情况下要考虑到所有的情况，不要漏解．