Question

1．如图，已知抛物线y=ax²+$\frac{8}{5}$x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，-4），直线l：y=-$\frac{1}{2}$x-4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax²+$\frac{8}{5}$x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．

（1）试求该抛物线表达式；
（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；
（3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC．
①求证：△ACD是直角三角形；
②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？

Answer 1

分析 （1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组，然后解方程组求得a、c的值即可；
（2）设P（m，$\frac{1}{5}$m²+$\frac{8}{5}$m-4），则F（m，-$\frac{1}{2}$m-4），则PF=-$\frac{1}{5}$m²-$\frac{21}{10}$m，当PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形，然后依据PF=OC列方程求解即可；
（3）①先求得点D的坐标，然后再求得AC、DC、AD的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；②分为△ACD∽△CHP、△ACD∽△PHC两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+\frac{8}{5}×2+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{5}}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=$\frac{1}{5}$x²+$\frac{8}{5}$x-4．
（2）设P（m，$\frac{1}{5}$m²+$\frac{8}{5}$m-4），则F（m，-$\frac{1}{2}$m-4）．
∴PF=（-$\frac{1}{2}$m-4）-（$\frac{1}{5}$m²+$\frac{8}{5}$m-4）=-$\frac{1}{5}$m²-$\frac{21}{10}$m．
∵PE⊥x轴，
∴PF∥OC．
∴PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形．
∴-$\frac{1}{5}$m²-$\frac{21}{10}$m=4，解得：m=-$\frac{5}{2}$或m=-8．
当m=-$\frac{5}{2}$时，$\frac{1}{5}$m²+$\frac{8}{5}$m-4=-$\frac{27}{4}$，
当m=-8时，$\frac{1}{5}$m²+$\frac{8}{5}$m-4=-4．
∴点P的坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{27}{4}$）或（-8，-4）．
（3）①证明：把y=0代入y=-$\frac{1}{2}$x-4得：-$\frac{1}{2}$x-4=0，解得：x=-8．
∴D（-8，0）．
∴OD=8．
∵A（2，0），C（0，-4），
∴AD=2-（-8）=10．
由两点间的距离公式可知：AC²=2²+4²=20，DC²=8²+4²=80，AD²=100，
∴AC²+CD²=AD²．
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．
②由①得∠ACD=90°．
当△ACD∽△CHP时，$\frac{AC}{CD}$=$\frac{CH}{HP}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$=$\frac{-\frac{1}{5}{n}^{2}-\frac{8}{5}n}{-n}$或$\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{1}{5}{n}^{2}+\frac{8}{5}n}{-n}$，
解得：n=0（舍去）或n=-5.5或n=-10.5．
当△ACD∽△PHC时，$\frac{AC}{CD}$=$\frac{PH}{CH}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$=$\frac{-n}{-\frac{1}{5}{n}^{2}-\frac{8}{5}n}$或即$\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$=$\frac{-n}{\frac{1}{5}{n}^{2}+\frac{8}{5}n}$．
解得：n=0（舍去）或n=2或n=-18．
综上所述，点P的横坐标为-5.5或-10.5或2或-18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、相似三角形的性质，依据平行线的对边相等列出关于m的方程是解答问题（2）的关键，利用相似三角形的性质列出关于n的方程是解答问题（3）的关键．