Question

（2013•苏州）如图，已知抛物线y=

1

2

x²+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（-1，0）．
（1）b=

1

2

+c

，点B的横坐标为

-2c

（上述结果均用含c的代数式表示）；
（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=

1

2

x²+bx+c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有

11

个．

Answer 1

分析：（1）将A（-1，0）代入y=

1

2

x²+bx+c，可以得出b=

1

2

+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出-1•x_B=

c

1 2

，即x_B=-2c；
（2）由y=

1

2

x²+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=

1

2

x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=

1

2

x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=

1

2

x+

1

2

；解方程组

y= 1 2 x2+( 1 2 +c)x+c y= 1 2 x+ 1 2

，求出点E坐标为（1-2c，1-c），将点E坐标代入直线CD的解析式y=-

c

2

x+c，求出c=-2，进而得到抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2；
（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当-1＜x＜0时，由0＜S＜S_△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．设点P坐标为（x，

1

2

x²-

3

2

x-2），则点F坐标为（x，

1

2

x-2），PF=PG-GF=-

1

2

x²+2x，S=

1

2

PF•OB=-x²+4x=-（x-2）²+4，根据二次函数的性质求出S_最大值=4，即0＜S≤4．则0＜S＜5；
②由0＜S＜5，S为整数，得出S=1，2，3，4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当-1＜x＜0时，根据△PBC中BC边上的高h小于△ABC中BC边上的高AC=

5

，得出满足条件的△PBC共有4个；（Ⅱ）当0＜x＜4时，由于S=-x²+4x，根据一元二次方程根的判别式，得出满足条件的△PBC共有7个；则满足条件的△PBC共有4+7=11个．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x²+bx+c过点A（-1，0），
∴0=

1

2

×（-1）²+b×（-1）+c，
∴b=

1

2

+c，
∵抛物线y=

1

2

x²+bx+c与x轴分别交于点A（-1，0）、B（x_B，0）（点A位于点B的左侧），
∴-1与x_B是一元二次方程

1

2

x²+bx+c=0的两个根，
∴-1•x_B=

c

1 2

，
∴x_B=-2c，即点B的横坐标为-2c；

（2）∵抛物线y=

1

2

x²+bx+c与y轴的负半轴交于点C，
∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．
设直线BC的解析式为y=kx+c，
∵B（-2c，0），
∴-2kc+c=0，
∵c≠0，
∴k=

1

2

，
∴直线BC的解析式为y=

1

2

x+c．
∵AE∥BC，
∴可设直线AE得到解析式为y=

1

2

x+m，
∵点A的坐标为（-1，0），
∴

1

2

×（-1）+m=0，解得m=

1

2

，
∴直线AE得到解析式为y=

1

2

x+

1

2

．
由

y= 1 2 x2+( 1 2 +c)x+c y= 1 2 x+ 1 2

，解得

x1=-1 y1=0

，

x2=1-2c y2=1-c

，
∴点E坐标为（1-2c，1-c）．
∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），
∴直线CD的解析式为y=-

c

2

x+c．
∵C，D，E三点在同一直线上，
∴1-c=-

c

2

×（1-2c）+c，
∴2c²+3c-2=0，
∴c₁=

1

2

（与c＜0矛盾，舍去），c₂=-2，
∴b=

1

2

+c=-

3

2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（3）①设点P坐标为（x，

1

2

x²-

3

2

x-2）．
∵点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，-2），
∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=

1

2

x-2．
分两种情况：
（Ⅰ）当-1＜x＜0时，0＜S＜S_△ACB．
∵S_△ACB=

1

2

AB•OC=5，
∴0＜S＜5；
（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．
∴点F坐标为（x，

1

2

x-2），
∴PF=PG-GF=-（

1

2

x²-

3

2

x-2）+（

1

2

x-2）=-

1

2

x²+2x，
∴S=S_△PFC+S_△PFB=

1

2

PF•OB=

1

2

（-

1

2

x²+2x）×4=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，S_最大值=4，
∴0＜S≤4．
综上可知0＜S＜5；

②∵0＜S＜5，S为整数，
∴S=1，2，3，4．
分两种情况：
（Ⅰ）当-1＜x＜0时，设△PBC中BC边上的高为h．
∵点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，-2），
∴AC²=1+4=5，BC²=16+4=20，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²，∠ACB=90°，BC边上的高AC=

5

．
∵S=

1

2

BC•h，∴h=

2S

BC

=

2S

2 5

=

5

5

S．
如果S=1，那么h=

5

5

×1=

5

5

＜

5

，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=2，那么h=

5

5

×2=

2 5

5

＜

5

，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=3，那么h=

5

5

×3=

3 5

5

＜

5

，此时P点有1个，△PBC有1个；
如果S=4，那么h=

5

5

×4=

4 5

5

＜

5

，此时P点有1个，△PBC有1个；
即当-1＜x＜0时，满足条件的△PBC共有4个；
（Ⅱ）当0＜x＜4时，S=-x²+4x．
如果S=1，那么-x²+4x=1，即x²-4x+1=0，
∵△=16-4=12＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=2，那么-x²+4x=2，即x²-4x+2=0，
∵△=16-8=8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=3，那么-x²+4x=3，即x²-4x+3=0，
∵△=16-12=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此时P点有2个，△PBC有2个；
如果S=4，那么-x²+4x=4，即x²-4x+4=0，
∵△=16-16=0，∴方程有两个相等的实数根，此时P点有1个，△PBC有1个；
即当0＜x＜4时，满足条件的△PBC共有7个；
综上可知，满足条件的△PBC共有4+7=11个．
故答案为

1

2

+c，-2c；11．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标，三角形的面积，一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识，综合性较强，有一定难度，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．