Question

1．如图，在边长为6的等边△ABC中，D为AC中点，射线DE∥BC，M，N分别为线段AB与射线DE上的点，连结CM，CN，若BM=DN，则CM+CN的最小值为3$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 取BC的中点F，连接FM．由△BMF≌△DNC，推出CN=FM，欲求CM+CM的最小值，只要求MC+MF的最小值，作等F关于AB的对称点H，连接CH交AB于M′，此时M′F+M′C=M′H+M′C=CH的值最小，作HK⊥CB于Y，连接HB，易知BH=BF=3，BK=$\frac{3}{2}$，HK=$\sqrt{3}$BK=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，可得CH=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}+（6+\frac{3}{2}）^{2}}$=3$\sqrt{7}$，由此即可解决问题．

解答 解：取BC的中点F，连接FM．
∵△ABC是等边三角形，
∵BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD=CD，BF=CF，
∴CD=BF，
∵DN∥BC，
∠CDN=∠ACB=∠FBM=60°，
在△BMF和△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=DN}\\{∠FBM=∠CDN}\\{BF=DC}\end{array}\right.$，
∴△BMF≌△DNC，
∴CN=FM，
∴欲求CM+CM的最小值，只要求MC+MF的最小值，
作等F关于AB的对称点H，连接CH交AB于M′，此时M′F+M′C=M′H+M′C=CH的值最小，
作HK⊥CB于Y，连接HB，易知BH=BF=3，BK=$\frac{3}{2}$，HK=$\sqrt{3}$BK=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴CH=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}+（6+\frac{3}{2}）^{2}}$=3$\sqrt{7}$，
∴CM+CN的最小值为3$\sqrt{7}$．
故答案为3$\sqrt{7}$．

点评 本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．