Question

13．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且CE=BF，连接DE、CF．
（1）求证：DE=CF；
（2）在（1）条件下，如图2，过点E作BG⊥DE，且EG=DE，连接FG，试判断：FG与CE的数量关系和位置关系？给出证明．
（3）如图3，若点E、F分别是CB、BA的延长线上的点，其他条件不变，（2）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，进而判断出△CBF≌△DCE（SAS），即可得出结论；
（2）先判断出CF⊥DE，进而判断出EG∥CF，即可判断出四边形EGFC是平行四边形，即可得出结论；
（3）同（1）的方法即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90°，
在△CBF和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{∠CBF=∠ECD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△DCE（SAS），
∴CF=DE；

（2）结论：GF=EC，GF∥EC，
理由：由（1）知，∠BCF=∠CDE，
∵∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠CDE+∠DCF=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形，
∴GF=EC，GF∥EC；

（3）结论仍然成立，GF=EC，GF∥EC，
理由：由（1）知，∠BCF=∠CDE，
∵∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠CDE+∠DCF=90°，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG∥CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形，
∴GF=EC，GF∥EC．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判断和性质，平行四边形的判断和性质，解本题的关键是判断出EG∥CF，是一道中等难度的中考常考题．