Question

（1）已知：有两块完全相同的含45°角的三角板，如图1，将Rt△DEF的直角顶点D放在Rt△ABC斜边AB的中点处，这时两块三角板重叠部分△DBC的面积是△ABC的面积的______；
（2）如图2，点D不动，将Rt△DEF绕着顶点D旋转α（0°＜∠α＜90°），这时两块三角板重叠部分为任意四边形DNCM，这时四边形DNCM的面积是△ABC的面积的______；
（3）若Rt△DEF的顶点D在AB上移动（不与点A、B重合），且两条直角边与Rt△ABC的两条直角边相交，是否存在一点，使得两块三角板重叠部分的面积是Rt△ABC的面积的？如果存在，请在图3中画出此时的图形，并说明点D在AB上的位置；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵在直角△ABC中，D为斜边AB的中点，
∴AD=BD=CD=AB，CD⊥AB，
∵S_△ABC=AB×CD，S_△DBC=BD×CD，
∴S_△DBC=S_△ABC
故答案为．

（2）如图，连接CD，
∵∠ADN+∠NDC=∠CDM+∠NDC，
∴∠ADN=∠CDM，
又∵∠A=∠DCB，AD=CD，
∴△ADN≌△CDM，
∴S_{四边形DNCM}=S_△ADC，
∴S_{四边形DNCM}=S_△ABC；
故答案为．

（3）如图，DF⊥BC，DE⊥AC，则四边形DNCM是矩形；
设AB=a，BD=x，
∴DM=x，DN=（a-x），AC=BC=a，
∴S_△ABC=×a×a=a²，
S_矩形DNCM=x×（a-x）=（ax-x²），
∴=，
整理得，=，
∴x₁=a，x₂=a，
∴点D在B点或处时，两块三角板重叠部分的面积是Rt△ABC的面积的．
分析：（1）D为AB的中点，S_△ABC=AB×CD，S_△DBC=BD×CD，即可得出；
（2）连接CD，易证△CDM≌△ADN，四边形DNCM的面积等于△ACD的面积，结合（1）即可得出；
（3）取DF⊥BC，DE⊥AC，则四边形DNCM是矩形，设AB=a，BD=x，则DM=x，DN=（a-x），AC=BC=a，分别表示出S_△ABC和S_矩形DNCM，利用其面积比，即可求出D的位置．
点评：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，（3）中取四边形是矩形，是解答的关键，思考问题的角度是从特殊到一般．