Question

【题目】如图， 以边长为的正方形纸片的边为直径做， 交对角线于点．

(1)线段

(2) 如图， 以点为端点作， 交于点， 沿将四边形剪掉， 使绕点逆时针旋转(如图)，设旋转角为， 旋转过程中与交于点.

①当时，请求出线段的长；

②当时，求出线段的长；判断此时与的位置关系，并说明理由；

③当 时，与相切．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②相离；③.

【解析】

（1）连接BE，则可得出△AEB是等腰直角三角形，再由AB=8，可得出AE的长．
（2）①连接OA、OF，可判断出△OAF是等边三角形，从而可求出AF的长；②此时可得DAM=30°，根据AD=8可求出AF的长，也可判断DM与⊙O的位置关系；③根据AD等于⊙O的直径，可得出当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，从而可得出α的度数．

解：（1）连接BE，

∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC=45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
又∵AB=8，
∴AE=4；
（2）①连接OA、OF，

由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，
故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，
则∠OAF=60°，
又∵OA=OF，
∴△OAF是等边三角形，
∵OA=4，
∴AF=OA=4；
②连接B'F，此时∠NAD=60°，

∵AB'=8，∠DAM=30°，
∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；
此时DM与⊙O的位置关系是相离；
③

∵AD=8，直径的长度相等，
∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，
故此时可得α=∠NAD=90°．