Question

18．如图1，在平面直角坐标系中，过点A（-2$\sqrt{3}$，O）的直线AB交7轴的正半轴于点B，∠ABO=60°．

（1）求直线AB的解析式；（直接写出结果）
（2）如图2，点C是x轴上一动点，以C为圆心，$\sqrt{3}$为半径作⊙C，当⊙C与AB相切时，设切点为D，求圆心C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E在x轴上，△ODE是以OD为底边的等腰三角形，求过点O、E、D三点的抛物线．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到B（0，2），由待定系数法即可得到结论；
（2）如图3，①当⊙C在直线AB的左侧时，根据切线的性质得到∠ADC=90°．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，解直角三角形得到AO=2$\sqrt{3}$，于是得到结论；②根据对称性，⊙C还可能在直线AB的右侧，与直线AB相切，此时CO=4$\sqrt{3}$，于是得到C坐标为（-4$\sqrt{3}$，0），
（3）如图4，①⊙C在直线AB的右侧相切时，点D的坐标为（$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．此时△ODE₁为等边三角形．于是得到E₁（$-\sqrt{3}$，0），解方程即可得到结论；②当⊙C在直线AB的左侧相切时，D（$-\frac{{7\sqrt{3}}}{2}$，$-\frac{3}{2}$）设E₂C=x，则DE₂=x，ME₂=$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$-x，在Rt△MDE₂中，∠DME₂=90°，根据勾股定理得到E₂（$-\frac{13}{7}\sqrt{3}$，0）．设过点O、E、D三点的抛物线的解析式为y=a（x+$\frac{13}{7}$$\sqrt{3}$）x，于是得到结论．

解答 解：（1）∵A（$-2\sqrt{3}$，0），
∴AO=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AOB中，∠AOB=90°．tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$，OB=$\frac{2\sqrt{3}}{tan60°}$，
∴BO=2，
∴B（0，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b．
则$\left\{\begin{array}{l}b=2\\-2\sqrt{3}k+b=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=2\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2；

（2）如图3，①当⊙C在直线AB的左侧时，
∵⊙C与AB相切，
∴∠ADC=90°．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
∵sin∠DAC=$\frac{CD}{AC}$，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{sin30°}$=2$\sqrt{3}$，
而AO=2$\sqrt{3}$，
∴C与O重合，
即C坐标为（0，0）；
②根据对称性，⊙C还可能在直线AB的右侧，与直线AB相切，此时CO=4$\sqrt{3}$，
∴C坐标为（-4$\sqrt{3}$，0），
综上，当⊙C与AB相切时，点C坐标为（0，0）或（-4$\sqrt{3}$，0）；

（3）如图4，①⊙C在直线AB的右侧相切时，点D的坐标为（$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
此时△ODE₁为等边三角形．∴E₁（$-\sqrt{3}$，0），
设过点O、E、D三点的抛物线的解析式为Y=a（x+$\sqrt{3}$）x，
则$\frac{3}{2}=a（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\sqrt{3}）×（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，
∴a=-2，
∴y=-2x（x+$\sqrt{3}$）$y=-2x（x+\sqrt{3}）$；
②当⊙C在直线AB的左侧相切时，D（$-\frac{{7\sqrt{3}}}{2}$，$-\frac{3}{2}$）
设E₂C=x，则DE₂=x，ME₂=$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$-x，
在Rt△MDE₂中，∠DME₂=90°，
∴MD²+ME${{\;}_{2}}^{2}$=DE${{\;}_{2}}^{2}$，
即（$\frac{3}{2}$）²+（$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$-x）²=x²，
∴x=$\frac{13}{7}$$\sqrt{3}$，
∴E₂（$-\frac{13}{7}\sqrt{3}$，0）．
设过点O、E、D三点的抛物线的解析式为y=a（x+$\frac{13}{7}$$\sqrt{3}$）x，
则-$\frac{3}{2}$=a（-$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$+$\frac{13}{7}$$\sqrt{3}$）×（-$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$），
∴a=-$\frac{2}{23}$，
综上，过点O、E、D三点的抛物线为y=-2x（x+$\sqrt{3}$）或y=-$\frac{2}{23}$x（x+$\frac{13}{7}$$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了求二次函数和一次函数的解析式，圆与直线的位置关系，勾股定理，解直角三角形，正确作出图形是解题的关键．