Question

17．如图，在△OAB中，OA=OB=13，AB=24，以O为圆心，4为半径作⊙O，P为线段AB上动点（从A运动到B），过P作⊙O的切线PC，切点为C，则PC的取值范围是（　　）

• A． 3≤PC≤3$\sqrt{17}$
• B． 5≤PC≤13
• C． 4≤PC≤3$\sqrt{17}$
• D． 1＜PC≤13

Answer 1

分析 首先连接OP、OQ，根据勾股定理知PQ²=OP²-OQ²，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，当P在A或B点时，线段PC最长，然后由勾股定理即可求得答案．

解答 解：连接OP、OC．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PC²=OP²-OC²，
∴当PO⊥AB时，线段PC最短，当P在A或B点时，线段PC最长，
①当PO⊥AB时，∵在Rt△AOB中，OA=OB=13，AB=24，
∴AP=12，
∴OP=5，
∴PC=$\sqrt{O{P}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
②当P在A点时，在Rt△AOC中，OC=4，OA=13，
∴PC=AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{4}^{2}}$=3$\sqrt{17}$，
∴PC的取值范围是3≤PC≤3$\sqrt{17}$，
故选A．

点评 本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短，当P在A或B点时，线段PC最长是关键．