Question

17．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-xy-4{y}^{2}-3x+4y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 将方程①左边因式分解可得（3x-4y）（x+y-1）=0，即可知x=$\frac{4}{3}$y或x=-y+1，再分别代入方程②求解即可．

解答 解：解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}-xy-4{y}^{2}-3x+4y=0}&{①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25}&{②}\end{array}\right.$，
由①，得：（3x-4y）（x+y）-（3x-4y）=0，
（3x-4y）（x+y-1）=0，
∴3x=4y或x+y-1=0，
∴x=$\frac{4}{3}$y或x=-y+1，
将x=$\frac{4}{3}$y代入②，得：$\frac{16}{9}$y²+y²=25，
解得：y=±3，
∴此时方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$；
将x=-y+1代入②，得：（-y+1）²+y²=25，
整理，得：y²-y-12=0，
解得：y=-3或y=4，
∴此时方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=4}\end{array}\right.$；
综上，该方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-3}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查解高次方程的能力，高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．