【题目】如图,抛物线交x轴于A、B两点,直线y=kx+b经过点A,与这条抛物线的对称轴交于点M(1,2),且点M与抛物线的顶点N关于x轴对称.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设题中的抛物线与直线的另一交点为C,已知P(x,y)为线段AC上一点,过点P作PQ⊥x轴,交抛物线于点Q.求线段PQ的最大值及此时P坐标;
(3)在(2)的条件下,求△AQC面积的最大值.
【答案】(1);(2)PQ有最大值=,此时P(2,3);(3)
【解析】
(1)由于点M和抛物线顶点关于x轴对称,即可得到点N的坐标,进而表示出该抛物线的顶点坐标式函数解析式;
(2)将点A与点M的坐标代入y=kx+b求出k与b的值,确定直线AC的解析式,得到点P坐标为(x,x+1),根据直线AC和抛物线的解析式,即可得到P、Q的纵坐标,从而得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式,根据所得函数的性质即可求出PQ的最大值及对应的P点坐标;
(3)由于△AQC面积=△AQP面积+△CPQ面积,根据三角形面积公式将PQ的最大值代入计算即可求解.
(1)由题意知,抛物线顶点N的坐标为(1,-2),
(2)由(1)得:x=-1或3,即A(-1,0)、B(3,0);
∵将A(-1,0)、M(1,2)代入y=kx+b中得:
解得:
∴直线AC的函数关系式为y=x+1,
解方程组
得x=-1或5,即A(-1,0)、C(5,6);
∴点P在线段AC之间
设P坐标为(x,x+1),则Q的坐标为
∴PQ=(x+1) - ()=
时
有最大值
此时
(3)
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为点D,AD交⊙O于点E,连接CE,CB.
(1)求证:CE=CB;
(2)若AC=,CE=,求AE的长.
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【题目】已知抛物线y=-x2+bx+c经过点B(-1,0)和点C(2,3).
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)如果此抛物线上下平移后过点(-2,-1),请直接写出平移的方向和平移的距离.
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【题目】如图,学校准备在教学楼后面搭建一简易矩形自行车车棚,一边利用教学楼的后墙(可利用的墙长为18m),另外三边利用学,校现有总长38m的铁栏围成.
(1)若围成的面积为,试求出自行车车棚的长和宽;
(2)能围成面积为的自行车车棚吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
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【题目】已知,点、,将线段绕着原点逆时针方向旋转角度到,连接,将绕着点顺时针方向旋转角度至,连接.
(1)当,时,求的长.
(2)当,时,求的长.
(3)已知,当时,改变的大小,求的最大值.
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【题目】如图,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=3,AB=4,点P为射线BC上一动点,以P为圆心,BP长为半径作⊙P,交射线BC于点Q,联结BD、AQ相交于点G,⊙P与线段BD、AQ分别相交于点E、F.
(1)如果BE=FQ,求⊙P的半径;
(2)设BP=x,FQ=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)联结PE、PF,如果四边形EGFP是梯形,求BE的长.
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【题目】将一条长为40cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于52cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于48cm2吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
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【题目】如图,在 ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连结EF、BF,下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有( ).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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