分析 （1）根据圆周角定理即可求出∠AOB的度数；
（2）由于BD是正方形ABCD的对角线，则∠AOB=2∠ADB=90°，因为90°圆周角所对弦为直径，点O在以AB为直径的半圆（不含A、B端点）图形上；过点O作OH⊥AB于点H，则OH≤$\frac{1}{2}$AB，从而可求出△AOB的最大值．
（3）作△ABC的外接圆⊙K，连接AC、BC、AK、BK，当△APB的面积最大，且∠APB=2∠ACB时，由（2）可知：点P与点K重合，然后根据勾股定理即可求出点P的坐标．
解答 解：（1）∵点A、B、C是⊙O上三点，
∴∠AOB=2∠ACB=70°，
故答案为：70°；
（2）满足∠AOB=2∠ADB的点O在以AB为直径的半圆（不含A、B端点）图形上；
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=45°，则∠AOB=2∠ADB=90°，
∵90°圆周角所对弦为直径，
∴点O在以AB为直径的半圆（不含A、B端点）图形上；
过点O作OH⊥AB于点H，则OH≤$\frac{1}{2}$AB，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OH≤$\frac{1}{4}$AB2，
∵边长为4的正方形ABCD，
∴AB=4，
∴S△AOB≤4，即S△AOB最大值为4；
（3）存在满足条件的点P；
作△ABC的外接圆⊙K，连接AC、BC、AK、BK，
当△APB的面积最大，且∠APB=2∠ACB时，点P与点K重合，
此时，点P为符合条件的点，
连接PC，
∵OB=OC=300，
∴∠OBC=45°，
∴∠CPA=2∠OBC=90°，
在Rt△AOC中，
由勾股定理得：AC2=OC2+OA2，
在Rt△PAC中，
由勾股定理得：AC2=AP2+PC2=2AP2，
∴2AP2=OC2+OA2=3002+1002=100000，
∴AP=100$\sqrt{5}$，
∴点P在直线x=200上，
设直线x=200交x轴于点H，则AH=BH，
∵OB=OC=300，OA=100，
∴AB=200，
∴AH=100，
在Rt△PAH中，
由勾股定理得：PH=$\sqrt{P{A}^{2}-A{H}^{2}}$=200，
∴P（200，200），
∴点P关于x轴的对称点P'（200，-200）也符合题意；
∴存在符合条件的点P，坐标为（200，200）或（200，-200）．
点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，三角形面积，不等式的性质等知识，需要学生灵活运用知识，综合程度较高；
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