Question

【题目】如图1所示，在中，，点是线段延长线上一点，且，点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，满是条件.

（1）若，，，求的长度；

（2）求证：；

（3）如图2，点是线段延长线上一点，其余条件与题干一致，探究、、之间的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）AB=4；（2）见详解；（3）AE+AF=BC，证明见详解.

【解析】

（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，求得∠1=20°，根据余角的定义得到∠2=∠DEF-∠1=70°，根据三角形的内角和得到∠3=60°，∠4=30°根据三角函数的定义得到AB=2BC，于是得到结论；
（2）如图1，过D作DM⊥AE于D，在△DEM中，由余角的定义得到∠2+∠5=90°，由于∠2+∠1=90°，推出∠1=∠5证得△DEM≌△EFA，根据全等三角形的性质得到AF=EM，根据三角形的内角和和余角的定义得到∠3=∠B，推出△DAM≌△ABC，根据全等三角形的性质得到BC=AM，即可得到结论；
（3）如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M根据余角的定义和三角形的内角和得到∠2=∠B，证得△ADM≌△BAC，由全等三角形的性质得到BC=AM，由于EF=DE，∠DEF=90°，推出∠4=∠5，证得△MED≌△AFE，根据全等三角形的性质得到ME=AF，即可得到结论．

解：（1）在等腰直角三角形DEF中，∠DEF=90°，

∵∠1=20°，
∴∠2=∠DEF∠1=70°，
∵∠EDA+∠2+∠3=180°，
∴∠3=60°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠3+∠EAB+∠4=180°，
∴∠4=30°，
∵∠C=90°，
∴AB=2BC=4；

（2）如图1，过D作DM⊥AE于M，

在△DEM中，∠2+∠5=90°，
∵∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠5，
∵DE=FE，
在△DEM与△EFA中，
，
∴△DEM≌△EFA，
∴AF=EM，
∵∠4+∠B=90°，
∵∠3+∠EAB+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠3=∠B，
在△DAM与△ABC中，
，
∴△DAM≌△ABC，
∴BC=AM，
∴AE=EM+AM=AF+BC；
（3）如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，

∵∠C=90°，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠2+∠MAB+∠1=180°，∠MAB=90°，
∴∠2+∠1=90°，∠2=∠B，
在△ADM与△BAC中，
，
∴△ADM≌△BAC，
∴BC=AM，
∵EF=DE，∠DEF=90°，
∵∠3+∠DEF+∠4=180°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4=∠5，
在△MED与△AFE中，
，
∴△MED≌△AFE，
∴ME=AF，
∴AE+AF=AE+ME=AM=BC，
即AE+AF=BC．