【题目】问题提出:
某校要举办足球赛,若有5支球队进行单循环比赛(即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场),则该校一共要安排多少场比赛?
构建模型:
生活中的许多实际问题,往往需要构建相应的数学模型,利用模型的思想来解决问题.
为解决上述问题,我们构建如下数学模型:
(1)如图①,我们可以在平面内画出5个点(任意3个点都不在同一条直线上),其中每个点各代表一支足球队,两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来.由于每支球队都要与其他各队比赛一场,即每个点与另外4个点都可连成一条线段,这样一共连成5×4条线段,而每两个点之间的线段都重复计算了一次,实际只有 条线段,所以该校一共要安排 场比赛.
(2)若学校有6支足球队进行单循环比赛,借助图②,我们可知该校一共要安排__________场比赛;
…………
(3)根据以上规律,若学校有n支足球队进行单循环比赛,则该校一共要安排___________场比赛.
实际应用:
(4)9月1日开学时,老师为了让全班新同学互相认识,请班上42位新同学每两个人都相互握一次手,全班同学总共握手________________次.
拓展提高:
(5)往返于青岛和济南的同一辆高速列车,中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站(每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称),那么在这段线路上往返行车,要准备车票的种数为__________种.
【答案】(1)10,10;(2)15;(3);(4)861;(5)30
【解析】
(1)根据图①线段数量进行作答.
(2)根据图②线段数量进行作答.
(3)根据每个点存在n-1条与其他点的连线,而每两个点之间的线段都重复计算了一次,提出假设,当 时均成立,假设成立.
(4)根据题意,代入求解即可.
(5)根据题意,代入求解即可.
(1)由图①可知,图中共有10条线段,所以该校一共要安排10场比赛.
(2)由图②可知,图中共有15条线段,所以该校一共要安排15场比赛.
(3)根据图①和图②可知,若学校有n支足球队进行单循环比赛,则每个点存在n-1条与其他点的连线,而每两个点之间的线段都重复计算了一次
∴若学校有n支足球队进行单循环比赛,则该校一共要安排场比赛.
当 时均成立,所以假设成立.
(4)将n=42代入关系式中
∴全班同学总共握手861次.
(5)因为行车往返存在方向性,所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况
将n=6代入 中
解得
∴要准备车票的种数为30种.
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【题目】为了响应“足球进校园”的目标,某校计划为学校足球队购买一批足球,已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元;购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元.
(1)求A,B两种品牌的足球的单价.
(2)求该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用.
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【题目】小明遇到这样一个问题,如图,△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC.求∠C的度数。小明通过探究发现,延长CD至点Q,使BQ=AB,再证明△ADC≌△ADQ,使问题得到解决.
(1)根据阅读材料回答,△ADC≌△ADQ的条件是________(填SSS,SAS,AAS,ASA,或HL)
(2)参考小明思考问题的方法,解答下列问题:求∠C的度数;
(3)解决问题,如图,已知,△ABC中,过点B任意作射线l,在l上取一点D,使∠ABD=∠ACD,AM⊥BD于点M,且BM=MD+CD。探究AB与AC的数量关系,并证明.
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【题目】如图,已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P(2,3),点D是正比例函数图象上的一点,过点D作y轴的垂线,垂足分别Q,DQ交反比例函数的图象于点A,过点A作x轴的垂线,垂足为B,AB交正比例函数的图于点E.
(1)求正比例函数解析式、反比例函数解析式.
(2)当点D的纵坐标为9时,求:点E的坐标.
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【题目】节约是中华民族的传统美德.为倡导市民节约用水的意识,某市对市民用水实行“阶梯收费”,制定了如下用水收费标准:每户每月的用水不超过立方米时,水价为每立方米
元,超过
立方米时,超过的部分按每立方米
元收费.
(1)该市某户居民9月份用水立方米(
),应交水费
元,请你用含
的代数式表示
;
(2)如果某户居民12月份交水费元,那么这个月该户居民用了多少立方米水?
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【题目】如图,在△ABC中,动点P在∠ABC的平分线BD上,动点M在BC边上,若BC=3,∠ABC=45°,则PM+PC的最小值是( )
A. 2 B. C.
D. 3
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线
交
轴于点
,交
轴于点
.点
在
轴的负半轴上,且
的面积为8,直线
和直线
相交于点
.
(1)求直线的解析式;
(2)在线段上找一点
,使得
,线段
与
相交于点
.
①求点的坐标;
②点在
轴上,且
,直接写出
的长为 .
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【题目】如图,在矩形OABC中,点A在x轴上,点C在y轴上,点B的坐标是,将
沿直线BD折叠,使得点C落在对角线OB上的点E处,折痕与OC交于点D.
(1)求直线OB的解析式及线段OE的长.
(2)求直线BD的解析式及点E的坐标.
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【题目】如图是一个多边形,你能否用一直线去截这个多边形,使得到的新多边形分别满足下列条件:画出图形,把截去的部分打上阴影
新多边形内角和比原多边形的内角和增加了
.
新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了
.
将多边形只截去一个角,截后形成的多边形的内角和为
,求原多边形的边数.
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