Question

如图，点B的坐标为（0，8），C点的坐标为（0，10），AB⊥OB，OA=10，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转，使斜边OA落在x轴正半轴上，记作OAˊ，点B的落点Bˊ在第一象限．
（1）在给定的坐标系中画出△OA'B'，并求点A的坐标；
（2）求过C，A，A'三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以O、Aˊ、P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据图形，再过点A作AD⊥OAˊ于D，得出AD、OB的值，再由勾股定理得出AB的值，从而得出OD、AB的值，即可求出点A的坐标．
（2）本题需先根据C（0，10）在抛物线上得出c的值，从而得出y=ax²+bx+10，再根据A（6，8）Aˊ（10，0）在抛物线y=ax²+bx+10上，即可列出式子，解出a、b的值，即可求出所要求的解析式．
（3）本题需先根据题意，分三种情况进行讨论，若分别以O、Aˊ、P为顶点，分别得出P点的存在或不存在，即可得出正确答案．

解答：解：（1）△OA'B'如图所示．过点A作AD⊥OAˊ于D，
则四边形OBAD为矩形，
所以AD=OB=8．
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=6，
所以OD=AB=6．
故点A的坐标为（6，8）；

（2）∵C（0，10）在抛物线上，
∴c=10．
∴y=ax²+bx+10．
∵A（6，8）Aˊ（10，0）在抛物线y=ax²+bx+10上，
∴

36a+6b+10=8 100a+10b+10=0.

解得

a=- 1 6 b= 2 3 .

∴所求解析式为y=-

1

6

x2+

2

3

x+10．

（3）①若以点O为直角顶点，
因OC=OAˊ且点C在抛物线上，
故点C（0，10）为所求的点；
②若以点Aˊ为直角顶点，则使△OPAˊ为等腰直角三角形的点P的坐标为（10，10）或（10，-10）．
经检验知，这两点都不在（2）中的抛物线上；
③若以点P为直角顶点，
则使△OPAˊ为等腰直角三角形的点P的坐标为（5，5）或（5，-5），
经检验知，这两点也都不在（2）中的抛物线上．
综上述可知，在抛物线上只存在一点P（0，10），使△OPAˊ为等腰直角三角形．

点评：本题主要考查了二次函数的综合，在解题时要注意知识的综合应用以及解析式、坐标的求法是本题的关键．