Question

8．如图，A、B分别为y=x²上两点，线段AB⊥y轴，且AB=2+2$\sqrt{3}$，过B的直线l：y=kx+b与抛物线交于点C（1-$\sqrt{3}$，m），与x轴、y轴交于D、E两点．
（1）求：B点的坐标及直线l的解析式；
（2）求：△COB的面积；
（3）把直线l绕点E顺时针旋转90°得直线l′，在直线l′上是否存在点P使△PDE与△DOE相似，若存在直接写出满足条件的P点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用抛物线的对称性求出点A，B坐标，再确定出点C坐标，用待定系数法求出直线解析式；
（2）直接利用三角形的面积的差求出即可；
（3）先求出直线l'的解析式，设出点P坐标，分两种情况讨论计算即可．

解答 解：（1）∵A、B分别为y=x²上两点，线段AB⊥y轴，且AB=2+2$\sqrt{3}$，
∴A（-1-$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$），B（1+$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$），
∵过B的直线l：y=kx+b与抛物线交于点C（1-$\sqrt{3}$，m），
∴m=4-2$\sqrt{3}$，
∴C（1-$\sqrt{3}$，4-2$\sqrt{3}$），
∵点B，C在直线l上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1-\sqrt{3}）k+b=4-2\sqrt{3}}\\{（1+\sqrt{3}）k+b=4+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线l：y=2x+2；
（2）由（1）知，B（1+$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$），C（1-$\sqrt{3}$，4-2$\sqrt{3}$），直线l：y=2x+2；
∴直线l与x轴的交点D坐标为（-1，0），
S_△BOC=S_△BOD-S_△COD=$\frac{1}{2}$OD×|y_B|-$\frac{1}{2}$×OD×|y_C|=$\frac{1}{2}$×1×（4+2$\sqrt{3}$）-$\frac{1}{2}$×1×（4-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$；
（3）由（1）知，直线l的解析式为y=2x+2，
∴E（0，2），
∵把直线l绕点E顺时针旋转90°得直线l′，
∴直线l'的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设点P（a，-$\frac{1}{2}$a+2），
∴PE=$\sqrt{（{a}^{2}+（-\frac{1}{2}a+2-1）^{2}}$，
∴OD=1，OD=2，ED=$\sqrt{5}$，
而∠PED=∠DOE=90°，
∵△PDE与△DOE相似，
∴①$\frac{PE}{DE}=\frac{OD}{OE}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}+（-\frac{1}{2}a+1）^{2}}}{\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，
∴a=1或a=-$\frac{1}{5}$，
∴P（1，$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{1}{5}$，$\frac{21}{10}$），
②$\frac{PE}{DE}=\frac{OE}{OD}$，
$\frac{\sqrt{{a}^{2}+（-\frac{1}{2}a+1）^{2}}}{\sqrt{5}}$=2，
∴a=$\frac{4+16\sqrt{3}}{5}$或a=$\frac{4-16\sqrt{3}}{5}$，
∴P（$\frac{4+16\sqrt{3}}{5}$，-$\frac{2+8\sqrt{3}}{5}$）或（$\frac{4-16\sqrt{3}}{5}$，-$\frac{2-8\sqrt{3}}{5}$），
∴满足条件的点P的坐标为P（1，$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{1}{5}$，$\frac{21}{10}$）或（$\frac{4+16\sqrt{3}}{5}$，-$\frac{2+8\sqrt{3}}{5}$）或（$\frac{4-16\sqrt{3}}{5}$，-$\frac{2-8\sqrt{3}}{5}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，三角形的面积的计算方法，相似三角形的性质，解本题的关键求出直线l，l'的解析式．