Question

【题目】某乡镇为解决抗旱问题，要在一河道上建一座水泵站，分别向河的同一侧两个村A与B供水.以河道上的大桥O为坐标原点，如图，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）.

（1）求出水泵站建在距离大桥O多远的地方,可使所用输水管道最短？

（2）求出水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到两村的距离相等？

Answer 1

【答案】（1）水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短；（2）水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到两村的距离相等.

【解析】

（1）为了使所修水泵站的所用输水管道最短，利用轴对称的方法画图可求；

（2）所求点要满足两个条件，到张村和李村的距离相等，可以作连接两村线段的垂直平分线，与x轴的交点即为所求．

(1)作点B关于x轴的对称点E,连接AE,则点E为(12,7)

设直线AE的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，则

解得 ，

当y=0时，x=5.

所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短。

(2)作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交x轴于点G

设点G的坐标为(x,0)

在Rt△AGD中,AG=AD+DG=3+(x2)

在Rt△BCG中,BG=BC+GC=7+(12x)

∵AG=BG，

∴3+(x2) =7+(12x)

解得x=9.

所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到两村的距离相等.